一次函数有关的面积问题

《一次函数相关的面积问题》教学设计一、教学目标1.知识与技能：通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点的坐标或直线的解析式。2、数学思考：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究,使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律,体会分类思想、数形结合思想,化归思想和方程思想.3、问题解决：根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。4、情感态度：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点、难点重点：根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点的坐标或一次函数的解析式。难点：①不规则图形面积的计算；②根据面积求点的坐标三、教学方法与手段的选择由于本节课重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。四、教学流程一、复习引入:1、一次函数24yx与x轴的交点A的坐标是与y轴的交点B的坐标是________。2、已知一次函数的图像与x轴、y轴的交于（－2，0）、（0，4）点，则这个函数的解析式为_____________。3、直线24yx与直线21yx的交点坐标是______。二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积例1：如图1，已知直线l：24yx，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。小结：类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积（规则图形--公式法）变式1：如图2，已知直线l：24yx，点(1,2)C在直线l上，(1)求OC所在直线的解析式；(2)求直线l和直线OC与x轴所围成的图形面积。小结：类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积（规则图形--公式法）变式2：如图3，已知直线l：24yx与x轴、y轴分别交于点B、M,，将变式1中的直线OC向上平移1个单位长度得到直线PA，点Q是直线PA与y轴的交点，求四边形PQOB的面积。小结：（1）类型3需要求出点p坐标，而求点p坐标，需要联立两直线的解析式，求解方程组;（2）类型3是求不规则图形的面积（割补法）题型二：由三角形面积求点的坐标或直线解析式例2一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求该一次函数的解析式．小结：题目中没有强调k值的正负，所以此题应分k0,k0两种情况，所以应该求两条直线的解析式。变式1：如图4，已知：一次函数24yx的图象分别与xy、轴交于点A、B，点P在x轴上，若6ABPS,求直线PB的函数解析式．小结：（1）题目中要求p点在x轴上，所以此题应分p点在x轴正半轴上和x轴负半轴上两种情况进行讨论，所以直线PB解析式应有两条。（2）会根据题意设点p的坐标。变式2：如图5，一次函数24yx的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.若点P在y轴上，当2ABPAOBSS时，求点P的坐标.小结：题目中要求p点在y轴上，所以此题应分p点在y轴正半轴上和y轴负半轴上两种情况进行讨论。在解题方法上不仅会依据变式1中的方法先设点p坐标，再带入面积公式求点p坐标，而且还要求会根据面积之间的数量关系直接求出点P的坐标，这种方法直观，简洁，迅速。图1yxOBAA图2yxOBAA图5yxOBAA图,4yxOBAANQPM图3yxOBAxmy变式3：如图6，一次函数24yx的图象经过点1,32A,AB⊥x轴于B，连接AO．M是直线24yx上异于A的一点，且在第一象限内．过点M作x轴的垂线，垂足为点N．若△MON的面积与△AOB面积相等，求点M的坐标．小结：本题主要考查会设点M坐标，会根据面积关系列方程，解方程。三、提升训练1：如图7，点mxyCBA2在一次函数、、的图象上，它们的横坐标依次为,211、、分别过这些点作x轴与y轴的垂线，求图中阴影部分的面积之和。（2009年宁波市中考题）四、小结：总结方法：1、已知解析式求面积（1）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接用面积公式求面积．（2）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．（3）不规则四边形面积常转化为若干个三角形面积或特殊四边形面积之和（或差）．2、已知面积求点坐标或解析式：注意分类讨论点坐标的个数或解析式的个数，做到不重不漏。五、课堂检测1、如图8，点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标。2、如图9，一次函数bkxy的图像经过A，B两点，与x轴交于C,求：（1）一次函数的解析式；（2）AOC的面积。六、作业必做题：1、已知一次函数42xy与x轴，y轴分别交于A，B两点，求三角形AOB的面积．2、求直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积．3、求直线y=2x－7，直线1122yx与y轴所围成三角形的面积．选做题：4、如图10，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A（-3，1），B（2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．教学流程安排活动流程活动内容和目的活动1：复习巩固：活动2：例1活动3变式练习1活动4变式练习2活动5例2活动6变式练习1练习求直线与x轴y轴交点坐标，两直线交点坐标，为解决下列问题铺垫.一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.直接求线段长作为三角形的底和高求面积。求两直线与坐标轴所成三角形面积。运用解方程组求交点坐标，从而得到高。求不规则图形的面积（割补法）已知面积求解析式。目的：练习分类讨论的思想方法。已知面积求解析式。目的：练习分类讨论的思想方法，会设点坐标。24yxBOAxyMN图621-1CMyxOBA图7图10图9图8活动7变式练习2活动8变式练习3活动9小结活动10课堂检测活动11布置作业已知两个图象间的面积关系求点坐标。目的：目的练习分类讨论的思想方法会设点坐标。已知两个图象间的面积关系求点坐标.目的会设点坐标,能通过三角形面积条件,列出方程求解。回顾本节内容，培养学生的归纳概括能力。检测本节所学内容，及时了解学生的掌握程度。分层布置作业，培养学生善于思考的良好习惯,提高学生学习数学的兴趣。教学反思一次函数是华师版八年级下册第17章的内容，本次授课是在学习新知识之后进行的系统复习。此处安排本学时的内容有以下三个方面的原因：1、地位与作用：一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，函数是初中数学中的一个重点，一次函数在中考中占有重要的地位，主要考察一次函数关系式的确定、图像和性质的分析以及实际应用等。将一次函数的图象与面积综合在一起的问题,是考查学生综合素质和能力的热点题型,已成为中考命题的焦点，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想，分类讨论思想，和方程思想。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。2、教材方面：教材中一次函数涉及到面积问题的练习很少，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法。3.学情及学法方面：对八年级学生来说，在学习了一次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的性质，能用简单的待定系数法求函数解析式，会求简单图形的面积。但是近年来坐标系下不规则三角形(四边形)面积一类问题频频出现，成为中考命题的高频热点.这类问题涉及知识面广，往往与相似、函数、方程等知识融为一体，考查学生在探索图形变化过程中的变与不变、化归与转化、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解决这类问题的关键是要把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，灵活地将待求图形的面积进行分割，即选择一条恰当的直线，将三角形(四边形)分割成若干个便于计算面积的三角形。学生若对这类问题的实质把握不清，常常感到束手无策，本课时以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。