高考定积分经典例题

1定积分与微积分基本定理（理）题组一定积分的计算1.已知f(x)为偶函数且60f(x)dx＝8，则66f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16解析：原式＝06f(x)dx＋60f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D2．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈[1，2]，则20f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在解析：数形结合，20f(x)dx=10x2dx+21(2-x)dx=321211(2)3021xxx=3115(422)326x.答案：C3．计算以下定积分：(1)21(2x2－1x)dx；(2)32(x＋1x)2dx；(3)30(sinx－sin2x)dx；解：(1)21(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)21＝163－ln2－23＝143－ln2.(2)32(x＋1x)2dx＝32(x＋1x＋2)dx2＝(12x2＋lnx＋2x)32＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.(3)30(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋12cos2x)30＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.题组二求曲多边形的面积4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A．1B.43C.3D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于20(－x2＋2x＋1－1)dx＝20(－x2＋2x)dx＝43.答案：B5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为43，则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由0k(kx－x2)dx＝(kx22－x33)0k＝k36＝43求得k＝2.答案：26．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，则0x(kx－x2)dx＝2x(x2－kx)dx，3即(12kx2－13x3)0x＝(13x3－12kx2)2x，解得12kx2－13x3＝83－2k－(13x3－12kx2)，解得k＝43，即直线OP的方程为y＝43x，所以点P的坐标为(43，169)．答案：(43，169)题组三定积分在物理中的应用7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.176B.143C.136D.116解析：s＝21(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)|21＝176.答案：A8．若1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，则需要花费的功为()A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，则F＝100x，所以W＝0.10100xdx＝50x20.10＝0.5J.答案：B9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：v＝v(t)＝32t，0≤t＜20，50－t，20≤t＜40，10，40≤t≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝600()dvtt＝2003d2tt＋4020(50)dtt＋604010dt4＝34t2200＋(50t－12t2)4020＋10t4020＝900米．答案：900题组四定积分的综合应用10.(2010·烟台模拟)若y＝0x(sint＋costsint)dt，则y的最大值是()A．1B．2C．－72D．0解析：y＝0x(sint＋costsint)dt＝0x(sint＋12sin2t)dt＝(－cost－14cos2t)0x＝－cosx－14cos2x＋54＝－cosx－14(2cos2x－1)＋54＝－12cos2x－cosx＋32＝－12(cosx＋1)2＋2≤2.答案：B11．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且10f(x)dx＝5，10xf(x)dx＝176，那么21f(x)xdx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由10(ax＋b)dx＝5得(12ax2＋bx)10＝12a＋b＝5，①由10xf(x)dx＝176得10(ax2＋bx)dx＝176，即(13ax3＋12bx2)10＝176，∴13a＋12b＝176，②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，于是21f(x)xdx＝214x＋3xdx＝21(4＋3x)dx＝(4x＋3lnx)21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln2512．设f(x)＝10|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．解：(1)0≤a≤1时，f(a)＝10|x2－a2|dx＝0a(a2－x2)dx＋1a(x2－a2)dx＝(a2x－13x3)0a＋(x33－a2x)1a＝a3－13a3－0＋0＋13－a2－a33＋a3＝43a3－a2＋13.当a＞1时，f(a)＝10(a2－x2)dx＝(a2x－13x3)10＝a2－13.∴f(a)＝32241(0),331(311).aaaaa≤≤(2)当a＞1时，由于a2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－13＝23.当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，由f′(a)＞0知：a＞12或a＜0，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f(12)＝14.综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为14.6