选修2-2定积分真题及其答案

第1页（共25页）选修2-2定积分真题及其答案参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•长沙校级二模）设，，下列关系式成立的是（）A．a＞bB．a+b＜1C．a＜bD．a+b=1【考点】定积分；不等关系与不等式．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用．【分析】利用微积分基本定理分别求出a、b，再利用三角函数的有关性质即可得出答案．【解答】解：∵（sinx）′=cosx，∴==sin1；∵（﹣cosx）′=sinx，∴==1﹣cos1．∵sin1+cos1＞1，∴sin1＞1﹣cos1，即a＞b．故选A．【点评】正确应用微积分基本定理和sin1+cos1＞1是解题的关键．2．（2015•会宁县校级模拟）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2B．2﹣ln2C．4﹣ln2D．4﹣2ln2【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用．【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．【解答】解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2第2页（共25页）∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故选D【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．3．（2015•海南模拟）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤2}，B={（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）A．B．C．D．【考点】定积分；几何概型．菁优网版权所有【分析】集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，﹣2）（2，0）（﹣2，0），集合B是抛物线y=x2下方的区域，分别求出面积，即可求出P（x，y）∈B的概率．【解答】解：集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，﹣2）（2，0）（﹣2，0），集合B是抛物线y=x2下方的区域由，可求得两图象在第一象限的交点坐标为（1，1）∵抛物线y=x2下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为=5+2×=，正方形的面积为，∴P（x，y）∈B的概率是第3页（共25页）故选B．【点评】本题考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，其中确定抛物线y=x2下方的区域的面积是关键．4．（2015•佳木斯一模）已知等比数列{an}，且a4+a8=dx，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．π2B．4C．πD．﹣9π【考点】定积分；数列的求和．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由dx表示圆的x2+y2=4的面积的，可得dx=π．由于a4+a8=dx=π=，可得a6（a2+2a6+a10）==π2．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵dx表示圆的x2+y2=4的面积的，∴dx==π．∴a4+a8=dx=π=，∴a6（a2+2a6+a10）===π2．故选：A．【点评】本题考查了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2015•新余二模）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A．B．C．D．第4页（共25页）【考点】定积分；函数的零点．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】把f（x）=sin（x﹣φ）﹣1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得φ，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点．【解答】解：由f（x）=sin（x﹣φ）﹣1且（f（x）+1）dx=0，得[sin（x﹣φ）]dx=0，∴[﹣cos（x﹣φ）]=0．即，∴．∵0＜φ＜，∴φ=，则f（x）=sin（x﹣）﹣1，由sin（x﹣）﹣1=0，解得：．取k=0，得x=．故选：A．【点评】本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题．6．（2015•兰州二模）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可．【解答】解：（x+1）2dx+dx，第5页（共25页）∵（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，∴（x+1）2dx+dx==，故选：B【点评】本题主要考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题．7．（2012•海珠区模拟）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分．【解答】解：由题设知：，∴，故选A【点评】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数．8．（2010•赫山区校级一模）=（）A．4ln2B．4ln2+1C．4ln2+3D．3ln2+3第6页（共25页）【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可．【解答】解：=（x2lnx）|12=4ln2﹣ln1=4ln2；故答案为A．【点评】本题考查定积分的计算，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题．9．（2015•怀化二模）定积分dx的值为（）A．B．C．πD．2π【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用．【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可．【解答】解：∵y=，∴（x﹣1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx=，故选：A．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．10．（2015•钦州模拟）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．第7页（共25页）【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．11．（2015•兴安盟二模）如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（）A．1B．C．2D．2【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用．【分析】由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求．【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D．【点评】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．第8页（共25页）12．（2015•厦门模拟）如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2＜x2dx＜（a+1）2．类比之，∀n∈N*，++…+＜A＜++…+恒成立，则实数A等于（）A．B．C．ln2D．ln【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有【专题】新定义．【分析】令A=A1+A2+A3+…+An，根据定积分的定义得到：A1=﹣lnn+ln（n+1），同理求出A2，A3，…，An的值，相加求出即可．【解答】解：令A=A1+A2+A3+…+An，由题意得：＜A1＜，＜A2＜，＜A3＜，…，＜An＜，∴A1=dx=lnx|=ln（n+1）﹣lnn，同理：A2=﹣ln（n+1）+ln（n+2），A3=﹣ln（n+2）+ln（n+3），…，An=﹣ln（2n﹣1）+ln2n，∴A=A1+A2+A3+…+An=﹣lnn+ln（n+1）﹣ln（n+1）+ln（n+2）﹣ln（n+2）+ln（n+3）﹣…﹣ln（2n﹣1）+ln2n=ln2n﹣lnn=ln2，故选：C．【点评】本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，…，An的值是解题的关键，本题是一道中档题．13．（2015•武汉模拟）如图，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O（0，0），A（，0），B（，1），C（0，1），记线段OC，CB以及y=sinx（0）的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，则点M落在区域Ω内的概率为（）第9页（共25页）A．B．1﹣C．1﹣D．【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】利用积分求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式，即可得到结论【解答】解：阴影部分的面积是：=，矩形的面积是：，∵点M落在区域Ω内的概率：，故选：C．【点评】本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积14．（2015•潍坊模拟）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．3﹣1B．4﹣2C．D．2【考点】定积分在求面积中的应用；正弦函数的图象；余弦函数的图象．菁优网版权所有【专题】计算题；导数的概念及应用．第10页（共25页）【分析】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：由y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]），可得交点坐标为（，），（，），∴由两曲线y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）﹣（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=2．故选：D．【点评】本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．二．填空题（共2小题）15．（2011•哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．【考点】定积分；导数的概念．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合．第11页（共25页）【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确．【解答】解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）∃x0∈[0，1]，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=∫01f（t）dt=f（x0），故（4）正确．所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（