二项式期权定价模型在美式外汇期权定价中的应用

龙源期刊网二项式期权定价模型在美式外汇期权定价中的应用作者：王禹顾春梅来源：《商情》2009年第32期[摘要]外汇期权具有一般期权的特点,但又有自己独特的地方——外汇期权的标的物是两种货币,其标的物的价格是两种货币的兑换价格,即汇率。这样在外汇期权的定价过程中就要涉及到两种货币的利率问题。同时,美式外汇期权又具有可以在到期前任何时间执行的特点,为期权定价增加了难度。在这篇文章中,我先简单介绍了美式外汇期权,然后利用二项式期权定价模型,对美式外汇期权的价值进行了简单的推导,并举例应用。[关键词]二项式定价模型美式外汇期权一、期权1.什么是期权期权是指在未来一定时期内可以买卖标的物的权力,是买方向卖方支付一定数量的金额(指权利金)后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格(指履约价格)向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力,但不负有必须买进或卖出的义务。期权交易事实上是这种权利的交易。买方有执行的权利也有不执行的权利,完全可以根据自己损益情况灵活选择。看涨期权和看跌期权。看涨期权,是指在期权合约的有效期内按执行价格买进一定数量标的物的权利;看跌期权,是指卖出标的物的权利。当期权买方预期标的物价格会超出执行价格时,他就会买进看涨期权,相反就会买进看跌期权。期权主要有如下几个构成因素:(1)执行价格(又称履约价格,敲定价格)。期权的买方行使权利时事先规定的标的物买卖价格。(2)权利金。期权的买方支付的期权价格,即买方为获得期权而付给期权卖方的费用。2.美式期权与欧式期权美式期权与欧式期权的区别主要在执行时间的分别上。龙源期刊网(1)美式期权是指在到期日前的任何时候或在到期日都可以执行权利,结算日则是在履约日之后的一天或两天,大多数的美式期权合同允许持有者在交易日到履约日之间随时履约,但也有一些合同规定一段比较短的时间可以履约,如“到期日前两周”。(2)欧式期权合同要求其持有者只能在到期日履行合同,结算日是履约后的一天或两天。由于美式期权比对应的欧式期权的选择余地大,所以通常美式期权的价值更高。美式期权比欧式期权更灵活,赋于买方更多的选择,而卖方则时刻面临着履约的风险,因此,美式期权的权利金相对较高。二、为什么研究美式外汇期权的定价外汇期权又称货币期权,它是让渡一种买或卖外币的权利的合约。合约的买方有权利在规定的日期按照一定的价格(汇率)和商定的条件购买或出售一定数量的外币。期权合约执行时的价格(汇率)成为执行价格。由于权利和义务的不对称,期权买方向卖方支付一定数额的报酬叫做权利金。外汇期货是全球第一个金融衍生品种,由芝加哥商业交易所(CME)于1972年推出。但直到20世纪80年代才有外汇期权产生,第一批外汇期权是英镑期权和德国马克期权,由美国费城股票交易所于1982年承办,它是已建立的股票期权交易的变形外汇期权的产生归因于两个重要因素:国际金融市场日益剧烈的汇率波动和国际贸易的发展。随着20世纪70年代初期布雷顿森林货币体系危机的出现到最终崩溃,汇率波动越来越剧烈。同时,国际间的商品与劳务贸易也迅速增长,越来越多的交易商面对汇率变动甚剧的市场,寻求避免外汇风险更为有效的途径。在远期外汇和货币期货这两种套期保值交易的基础上,期权的产生不仅具有能避免汇率风险、固定成本的同样作用,而且克服了远期与期货交易的局限,因而颇得国际金融市场的青睐。对于那些应急交易,诸如竞标国外工程或海外公司分红等不确定收入或投资保值来说,期权交易尤其具有优越性。美式外汇期权是指,期权的买方可以在成交日至期权到期日之间的任何时间要求卖方履约,按照预先确定的某个汇率即执行价格用一定数量的货币购买(美式买权或美式看涨)或卖出(美式卖权或美式看跌)另一种货币。美式外汇期权有提前履行的特点,所以对于其他各要素均相同的欧式外汇期权来说,美式外汇期权的价值大于或等于欧式外汇期权的价值。因为履约时间的不确定性,美式外汇期权得不到解析定价公式,但我们可以用二项式期权定价原理为美式外汇期权定价。龙源期刊网三、二项式期权定价模型在外汇期权中的应用假设目前日元对美元汇率是未来每一期汇率变动的可能是上涨为原来的u倍或下跌为原来的d倍(设u=1.02,d=0.98),期权有效期为两个月,在期权有效期内,日元的定期年利率是美元的定期年利率是设两个月期的日元兑换美元的美式看涨期权(期权合约面值l美元)的协定汇率是120。现在我们根据二项式定价模型计算该美式看涨期权的初始价值。(1)期权有效期分为两期,每期时间间隔为一个月:t=0至t=1和t=l至t=2。首先计算美元在未来两期的可能变动情况,见图1所示。(2)根据美元的可能变动情况与协定汇率计算该美元看涨期权的执行价值(执行价值是结束美式期权的价值),执行价值=max(S-X,O),见图2所示:图1美元的可能变动情况图2美元买权的执行价值(3)根据第二步骤的执行价值,计算该美元买权的合理价格。其中所采用的上涨、下降的概率如下面的公式:现证明如下:首先,利用期权和美元债券建立一个无风险投资组合。假设某投资者期初持有Δ单位美元债券多头和一个美元买权空头,那么,以日元衡量的套期保值组合的期初价值则以日元衡量的组合期初价值为:再次,通过构造无风险投资组合,求出美元Call期权价值。显然,只有当以日元衡量的套期保值组合的期末价值与期初价值之比等于日元资金市场上无风险收益率时,这种组合就不存在超额无风险利润(若期末价值与期初价值之比不等于日元无风险收益率,就会有获取超额无风险利润的套利机会),即:龙源期刊网即则套利者可通过借日元,买美元,投资美元,卖出远期美元的抛补套利,获得额外无风险利润。由于市场套利的力量,将使p维持在0和1之间。如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概率过程,那么这个p值可理解为期初即期汇率上升到期末即期汇率u的概率;当然从下降到的概率为(1-p)。将各参数代入上式得:在t=l时,当美元上升至122.4时,计算出来的期权价值是2.318日元,而提前执行期权的损益为2.4日元,在这种情况下,提前执行是最佳的,因此期权的价值是2.4日元,故应在此时提前执行。(4)t=0时,该美元买权合理价格的计算应以在t=1的理性执行策略为主:在t=1时,该买权的可能合理(这里的可能合理是基于概率意义上的理性合理)价格为2.与故在t=0时该美元买权的合理价格为:到此,我们已经推算出该美式美元买权的初始价格为日元)。四、结论在外汇市场中应用的期权定价模型一般分为欧式外汇期权定价和美式外汇期权定价。本文从二项式期权定价模型入手,结合了外汇期权自身的特点,在二项式期权定价模型基础上推导出了美式外汇期权的定价公式,并以日元兑换美元美式美元看涨期权为例,说明了如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。在美式外汇期权定价中,当将有效期划分的期数越多的时候,计算出的期权价格精确度会变得越高。以上所推演的美式外汇看涨期权二项式定价模型同样适用于美式看跌期权的定价,与计算美式看涨期权唯一不同的是美式看跌期权的执行价值应为max(X-S,0)。龙源期刊网参考文献:[1]约翰.赫尔.期权、期货和其它衍生产品.华夏出版社,1999.[2]黄文茜.美式期权外汇的定价研究.现代商贸工业,2008.[3]陈舜.期权定价理论及其应用.中国金融出版社,1998.[4]许民利,李磊.运用外汇期权规避汇率风险.湖南财经高等专科学校学报,2006.