第二节-定积分的性质

经济数学---微积分教案山东女子学院1第二节定积分的性质教学目的：掌握定积分的性质。教学重点：掌握定积分的性质。教学难点：定积分积分中值定理的理解与应用。教学时数：2教学内容：一、定积分的几何意义设()bafxdx存在若在[,]ab上()0fx，则()bafxdx的值等于由曲线()yfx、直线xa、xb及x轴所围成曲边梯形的面积；若在[,]ab上()0fx，则()bafxdx的值等于由曲线()yfx、直线xa、xb及x轴所围成曲边梯形的面积的负值；若在[,]ab上()fx的值有正也有负，则()bafxdx的值等于由曲线()yfx、直线xa、xb及x轴所围成曲边梯形面积的代数和．例1：用定积分几何意义，求2224xdx．解:被积函数是24yx，[2,2]x是x轴上方的半圆，如图，根据定积分的几何意义，所求定积分为阴影部分的面积即2224xdx=2．二、定积分的性质性质1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即dxxgxfba)]()([badxxf)(badxxg)(证明：dxxgxfba)]()([iniiixgf10)]()([lim=iniixf10)(liminiixg10)(lim=badxxf)(badxxg)(图24yxy2o2x经济数学---微积分教案山东女子学院2性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即badxxkf)(kbadxxf)((k是常数)性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 acb,则badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。例2：已知1,0()1,02xxfxxx当当，求21()fxdx.解：由于被积函数是分段函数,所以定积分应分段积分.根据性质3,有202110()()()fxdxfxdxfxdx0210(1)(1)2xxdxdx.利用定积分的几何意义,可分别求出011(1)2xdx；20(1)12xdx.于是2113()122fxdx.性质4如果在区间[a,b]上，则,1)(xfbadxxf)(abdxba性质5如果在区间[a,b]上，则,0)(xf0)(badxxf)(ba证明：因,0)(xf故),,3,2,1(0)(nifi，又因),,2,1(0nixi，故0)(1iniixf，设oxxxn},,,,max{21时，便得欲证的不等式。推论1如果在[a,b]上，则),()(xgxfbadxxf)(badxxg)(（ab）推论2badxxf)(badxxf)(例3：比较下列积分值的大小经济数学---微积分教案山东女子学院34400sincosxdxxdx与解：当[0,]4x时，sincosxx．由性质4,有4400sincosxdxxdx．性质6设M与m分别是函数],[)(baxf在上的最大值及最小值，则)(abmbadxxf)()(abM（ab）性质7（定积分中值定理）如果函数)(xf在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点，使下式成立：))(()(abfdxxfba（ba）证明：利用性质6，baMdxxfabm)(1；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在[a,b]上至少存在一点，使badxxfbaf)(1)(，故得此性质。显然无论a.b，还是ab，上述等式恒成立。积分中值定理的几何释意如下：在区间[a，b]上至少存在一个，使得以区间[a,b]为底边,以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积,