导数在零点中的应用、根的个数问题

导数在函数零点中的应用导数专题1一、知识回顾与巩固训练1、函数f(x)=x3-16x的零点为()A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.–4,0,42、xxxf1lg)(零点所在区间是（）.A.]1,0(B.]10,1(C.]100,10(D.),100(3.函数2)(xxf在下列区间是否存在零点（）（A）（-3，-1）；（B）（-1，2）；（C）（2，3）；（D）（3，4）。DＢＢ函数零点的定义：方程的根与函数的零点的关系一、知识回顾与巩固训练对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．二、能力提升1确定函数1096)(23xxxxf零点的个数解：1096)(23xxxxf，)3)(1(39123)(2/xxxxxf令0)(xf,得3,121xx列出x,y/,y的对应值表如下：x)1,(1(1,3)3),3(/y+0-0+y增函数Y极大值-6减函数Y极小值-10增函数作出函数的1096)(23xxxxf草图可知，函数)(xf的图象与X轴仅有一个交点，则)(xf仅有一个零点。注意：本类型题的特点是找出函数)(xf的图象与X轴交点的情况，-10XYO13变式一（引入参数a）试讨论函数axxxxf1096)(23(Ra)零点的个数。想一想，下面的题如何解？二、能力提升变式一：试讨论函数axxxxf1096)(23(Ra)零点的个数。分析：方法1：.直接模仿上面的解法，可得如与表格:x)1,(1(1,3)3),3(/y+0-0+y增函数ay极大值6减函数ay极小值10增函数然后再结合函数)(xf的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：当010ay极小值即10a时没有1个交点；当010ay极小值即10a时仅有2个交点；当010ay极小值且06ay极大值即610a时有3个交点；当即06ay极大值6a时有2个交点；当06ay极大值即6a时有1个交点.二、能力提升若方程f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点，求a的取值范围；变式二：答案：-10a-6【对点练7】(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)零点问题：【解析】利用f′(x)＝3ax2－6x结合题意，可利用特殊值法求解．f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；x∈(0，23)时，f′(x)0；x∈(23，＋∞)时，f′(x)0，注意f(0)＝1，f(23)＝590，则f(x)的大致图像如图①所示．不符合题意，排除A，C.当a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－32)时，f′(x)0；x∈(－32，0)时，f′(x)0；x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，注意f(0)＝1，f(－32)＝－54，则f(x)的大致图像如图②所示．不符合题意，排除D.【答案】B【例1】（2009天津卷理）设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfxA在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。【解析】选D.本小题考查导数的应用，基础题。由题得xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；0)`(xf得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1＜0,又0131)1(,013,31)1(eefeeff0131)1(,013,31)1(eefeeff.1．函数y＝f(x)－g(x)的零点个数⇔函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点个数．2．三次函数的零点问题，往往与极值有关，通常要结合图形来解．3．零点不是点！零点是y＝f(x)图像与x轴交点的横坐标.构造函数【典例6】(导数与不等式)(2014·赣州4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，e4)D．(e4，＋∞)【解析】令g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′x·ex－fx·exex2＝f′x－fxex0，∴g(x)在R上是减函数．又y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于g(x)＝fxex1＝g(0)．∴x0，故选B.【答案】B【对点练6】(2014·马鞍山市质检Ⅱ)定义域为R的函数f(x)，满足f(0)＝1，f′(x)f(x)＋1，则不等式f(x)＋12ex的解集为()A．{x∈R|x1}B．{x∈R|0x1}C．{x∈R|x0}D．{x∈R|x0}【解析】由题意，构造函数g(x)＝fx＋1ex，所以g′(x)＝f′x－fx－1ex.因为f′(x)f(x)＋1，所以g′(x)0，故g(x)在R上为减函数．而g(0)＝2，不等式f(x)＋12ex，可化为g(x)g(0)，所以x0，故选D.【答案】D1．求单调区间．(1)利用导数求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．(2)注意不要忽视函数的定义域．(3)两个及以上同类单调区间之间，一般情况下应用逗号“，”隔开，而不能用并集符号“∪”连接．(4)单调区间的端点处尽量用开区间符号．2．与单调性有关的参数范围问题．(1)已知f(x)在区间D上是单调函数，求f(x)中参数的取值范围常用分离参数法：通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f′(x)为二次函数，可以由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立求出参数的取值范围．(2)①若f(x)单调递增，则f′(x)≥0恒成立；②若f(x)单调递减，则f′(x)≤0恒成立；③若f(x)存在增区间，则f′(x)0有解；④若f(x)存在减区间，则f′(x)0有解．(3)若f(x)是单调函数，则f′(x)不变号．3．构造函数．(1)若f(x)＋xf′(x)0，则可构造y＝x·f(x)；(2)若f(x)－xf′(x)0，则可构造y＝xfx；(3)若f(x)f′(x)，则可构造y＝fxex.-10XXYO13-6变式二（方程问题）试讨论方程0109623axxx(Ra)解的情况。变式三（方程问题）若方程axxx109623在]31[，上有实数解，求a的取值范围。610a变式四（改变参数的位置）：若方程0923xaxx在[1，3]上有实数解，求a的取值范围。]10,6[a]3,1[,9923xxxxxxa思考：如何转化？方法一方法二方程092axx在[1，3]上有实数解变式五（把相等关系变成不等关系）：若不等式0923xaxx在[1，3]上恒成立，求a的取值范围。]6,(a分析：转化为]3,1[,9xxxa恒成立问题，即]3,1[,)9(minxxxa（09金中）下图是函数xy21和23xy图象的一部分,其中212101,xxxxx时,两函数值相等.(1)给出如下两个命题:(2)①当1xx时,2321xx;②当2xx时,2321xx.判断命题①②的真假并说明理由.(2)求证:1,02x三、综合应用解(1)命题①是假命题,反例:10x,则1xx,但是300103,102421210,2321xx不成立.----3分命题②是真命题,因为xy21在,2x上是减函数,函数23xy在,2x上是增函数,所以当2xx时,.-2223321212xxxx7分(2)构造函数xxxf213)(2,则025)1(,01)0(ff,所以)(xf在区间1,0有零点.又因为xxxf213)(2在区间1,0是增函数,所以)(xf在区间1,0有唯一个零点,即2x,所以1,02x.--------14分对数增长，直线上升，指数爆炸！.四、课后练习1.xxxf2)(2零点的个数2已知函数axxxf1cos4sin4)(2，当]32,4[x时)(xf＝0恒有解，则a的范围是＿＿3.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数31()2fxxaxb在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为（）A.18B.14C.34D.784已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，求a的取值范围。1、方程的根与函数的零点的关系五、课堂小结方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．2.等价关系函数)()()(xgxfxFy有零点方程0)()()(xgxfxF有实数根方程组)()(21xgyxfy有实数根函数)(1xfy与)(2xgy的图象有交点3.数学思想方法的应用数学思想方法是数学科的灵魂，在本节课中要特别注意函数与方程思想，数形结合思想和化归思想有解题中的指导作用！原题：确定函数1096)(23xxxxf零点的个数变式一（引入参数a）试讨论函数axxxxf1096)(23(Ra)零点的个数。变式二（方程问题）试讨论方程0109623axxx(Ra)解的情况。变式三（方程问题）若方程axxx109623在]31[，上有实数解，求a的取值范围变式四：若方程0923xaxx在[1，3]上有实数解，求a的取值范围。变式五：若不等式0923xaxx在[1，3]上恒成立，求a的取值范围。变式题组回顾函数)()()(xgxfxFy有零点方程0)()()(xgxfxF有实数根方程组)()(21xgyxfy有实数根函数)(1xfy与)(2xgy的图象有交点等价关系除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？