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相交线与平行线知识点5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°余角和补角：1、余角：如果两个角的和等于90°，那么就说这两个角互为余角，简称互余，也就是其中一个角是另一个角的余角。∠1+∠2=90°2、补角：如果两个角的和等于180°，那么就说这两个角互为补角，简称互补，也就是其中一个角是另一个角的补角∠1+∠2=180°2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.5.2平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b.2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；1243ABCDO②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）如左图所示，∵b∥a，c∥a∴b∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.3、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.如图，直线ba,被直线l所截①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线ba,的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线ba,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做同旁内角.④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型..4、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是先写角相等，然后写平行.5.3平行线的性质abcabl12345678ABCDEF12341、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.例1.如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（）.A．∠3=∠4B．∠A+∠ADC=180°C．∠1=∠2D．∠A=∠5例2.如果a∥b，b∥c，则______∥______，因为________．例3．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则ac，因为．例4．填注理由：如图，已知：直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1=∠2，试说明：∠3+∠4=180°．解：∵∠1=∠2（）又∵∠2=∠5（）∴∠1=∠5（）∴AB∥CD（）∴∠3+∠4=180°（）5，已知：如图AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．ABCDEF1234AEGBCFHD三角形知识点总结一、三角形三边的关系1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据）2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论）方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。例题1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.2、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;二、三角形的高定义；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。性质；三角形的三条高交于一点，这点称作垂心。锐角三角形，三条高的交点在三角形内部。直角三角形，三条高的交点在三角形顶点。钝角三角形，三条高的交点在三角形外部。1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？()A．中线B．高C．角平分线D．边的垂直平分线三、三角形的中线定义；连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线。性质；如果AD是ABC中BC边上的中线，那么BD=CD=1/2BC￣.三条中线的交点在三角形内部，这点叫做三角形的重心。如果AD是ABC的中线，那么SABD=SACD四、三角形的角平分线二、角平分线1、画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．2、性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.书写格式：∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F∴CE=CF。3、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.书写格式：∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线上。综合练习模拟题1．以下说法错误的是（）A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图1，BD=12BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．(1)(2)(3)4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形B．菱形C．三角形D．正方形6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？8．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．9．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠ABCEFDCBABPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．100°一、选择题1.三角形的角平分线、中线、高线都是（）A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能4.在△ABC中，D是BC上的点，且BD:CD=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于（）A.30B.36C.72D.246．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（）A．三角形的高B．三角形的角平分线C．三角形的中线D．无法确定8.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9．下图中，正确画出△ABC的AC边上的高的是（）ABCD二、填空题1.如图，在△ABC中，BC边上的高是，在△AEC中，AE边上的高是，EC边上的高是.2.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为.三、解答题1.如图,在⊿ABC中画出高线AD、中线BE、角平分线CF.2.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.3.如图，已知：在三角形ABC中，∠C=90º,CD是斜边AB上的高，AB=5,BC=4,AC=3,求高CD的长度.5.，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．6.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。8.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.9.已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6㎝，AC=8㎝，BC=10㎝，∠BAC=90°，试求：(1)AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE与△ABE的周长的差。