4.4线性时变系统的能控性及能观性

第四章线性系统的能控性与能观性4.4线性时变系统的能控性及能观性000()()()()()()()()();,dxtAtxtBtutytCtxtxtxttT4.4.1线性时变系统的能控性判据考虑连续时间线性时变系统其中x为n维状态向量，u为p为输入；Td为时间t的定义区间；t0为初始时刻，tt0；A(x)、B(x)分别为n×n,n×p时变矩阵.第四章线性系统的能控性与能观性()()()()()xtAtxtBtut10TTC0100(,)(,)()()(,)dttWtttBBt定理4.4.1线性时变系统在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是Gram矩阵非奇异。式中为时变系统状态转移矩阵。0(,)tt第四章线性系统的能控性与能观性推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)都是n-1次连续可微的，在时间区间[t0,t1]上，若有011rank()()()nMtMtMtn则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵0()()MtBt1d()()()()dkkkMtAtMtMtt,(,,,)121kn第四章线性系统的能控性与能观性例4.4.1.(1)1122233100001001xtxxtxuxtx00()()11MtBt10021d()()()()dMtAtMtMtttt第四章线性系统的能控性与能观性2221144202d()()()()11d22ttMtAtMtMtttttttt012()()()MtMtMt秩为3，所以系统是完全能控第四章线性系统的能控性与能观性推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间Td上是n-1次连续可微的,若对初始时刻t0∈Td,存在有限时刻t1∈Td，t1t0,使得011111rank()()()nMtMtMtn则系统在时刻t0是状态完全能控的,其中分块矩阵0()()MtBt1d()()()()dkkkMtAtMtMtt,(,,,)121kn第四章线性系统的能控性与能观性例4.1.1.(2)试判断线性时变连续系统11222331000201001xtxxtxuxttx[0,3]dT00.5t第四章线性系统的能控性与能观性10022211221()()()()23()()()()42()21dMtAtMtMttdttttdMtAtMtMttdtttt解：首先计算00()()11MtBt进而，可以找到，使有11[0,3]t第四章线性系统的能控性与能观性10111211()()()0131221213trankMtMtMtrank据秩判据可知，系统在时刻完全能控.00.5t第四章线性系统的能控性与能观性4.4.2线性时变系统能观性的判据定理4.4.2线性时变系统()()()xtAtxt()()()ytCtxt定义在时间区间[t0,t1]内，状态完全能观测的充分必要条件是Gram矩阵TTOd100100(,)(,)()()(,)ttWtttCCt为非奇异。第四章线性系统的能控性与能观性推论(秩判据）：如果矩阵A(t)和C(t)满足n-1次连续可微的条件在时间区间[t0,t1]内，又有rank011()()()nNtNtnNt则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵0()()NtCtdd1()()()()kkkNtNtAtNtt，0121(,,,,)kn第四章线性系统的能控性与能观性例4.4.21122233100001001xtxxtxuxtx123101xyxx101)(0tN2100d()()()()1dNtNtAtNtttt24211d()()()()122dNtNtAtNtttttt第四章线性系统的能控性与能观性tttttttNtNtN2211101)()()(422210其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。第四章线性系统的能控性与能观性推论（秩判据）：对连续时间线性时变连续系统，若A(t)、C(t)阵均是n-1阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻t0状态完全能观的充分条件为存在一个有限时刻使110,,dtTtt011111()()()nNtNtranknNt0()()NtCtdd1()()()()kkkNtNtAtNtt0121(,,,,)kn第四章线性系统的能控性与能观性例4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为,32123210002001xxxttttxxx2,5.0],2,0[0fdttT321111xxxy分析系统在时的能观性5.00t解首先计算0N()111t第四章线性系统的能控性与能观性21002112222N()N()A()N()21N()N()A()N()1432()(21)dttttttttdtdttttdttttttt于是rankrank10111211N()111N()2563N()52441tttnt可见系统在时刻状态完全能观测。5.00t第四章线性系统的能控性与能观性4.5能控性与能观性的对偶关系4.5.1能控性与能观性的对偶关系对偶系统BuAxxCxyTTzAzCvTwBz12第四章线性系统的能控性与能观性BTBATACTCuxxyVzzw(a)(b)对偶系统结构图由图可见，互为对偶的两系统输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。第四章线性系统的能控性与能观性4.5.2对偶原理系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观测性；的能观测性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的(完全能观测的)，则是状态完全能观测的(完全能控的)。),,(1111CBA),,(2222CBA),,(1111CBA),,(1111CBA),,(2222CBA),,(2222CBA),,(1111CBA),,(2222CBA第四章线性系统的能控性与能观性系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能观的充要条件相同；121系统状态完全能观的充要条件与系统完全能观的充要条件相同。2（对偶原理）第四章线性系统的能控性与能观性对偶原理在现代控制理论的研究中具有重要意义,其使得系统的状态观测及估计等问题和系统的控制问题互相转化、借鉴,例如,最优估计问题就可借鉴最优控制问题的结论而获得解决。第四章线性系统的能控性与能观性4.5.3两个系统的传递函数矩阵的关系11()()GsCsIABTTTTTT112()()()GsBsIACBsIACT121[()]()()GsCsIABGs