同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度

1高等数学第十二讲2第九章第七节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度3l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxff0lim则称lflf为函数在点P处沿方向l的方向导数.),,(),,(lim0zyxfzzyyxxf在点),,(zyxP处沿方向l(方向角为,,)存在下列极限:P记作在一些实际问题中，需要研究函数),,(zyxfu在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。4,),,(),,(处可微在点若函数zyxPzyxf),,(zyxPl定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,flf0limcoscoscoszfyfxflf证明:由函数),,(zyxf)(ozzfyyfxxff且有)(o在点P可微,得P故coscoscoszfyfxf5对于二元函数,),(yxf向角为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyoxflf特别:•当l与x轴同向有时,2,0•当l与x轴反向有时,2,xflfl6对于二元函数,),(yxfz的方向导数存在，lyxP处沿方向在点),()0,0(lf0limf而＝不存在而偏导数不一定存在。例如：22),(yxyxf在点(0,0)处沿x轴的正向到点(1,0)处。1)()(lim220yx7例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.Plu1422zyx1432yx解:向量l的方向余弦为coscoscoszfyfxflf8指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A例2.函数)ln(22zyxu提示:则}cos,cos,{cos)1ln(x)11ln(2y21219例3.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xx它在点P的切向量为,171cos1760xoy2P12xyxx)4,1(174cos11022),(yxyxyxf在点（1，1）沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(2例4求函数）（sin22cos22211sincos),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf12例5.设是曲面n在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而PxuPnu同理得)1,3,2(2方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pxx8662在点P处沿求函数nn13二、梯度方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,,)cos,cos,(cos0l,0方向一致时与当Gl:GGlfmax一个函数(,)zfxy在点),(yxP沿着不同的方向l的方向导数上不同的，141.定义,fadrg即同样可定义二元函数),(yxP称为函数f(P)在点P处的梯度zfyfxf,,记作(gradient),在点处的梯度G说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量15函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数f的等值线.,,不同时为零设yxff则L*上点P处的法向量为Pyxff),(Pfgradoyx1cf2cf3cf)(321ccc设P同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为.gradPf,),(yxfz对函数指向函数增大的方向.2.梯度的几何意义16等高线的画法播放17图形及其等高线图形．函数xyzsin例如,183.梯度的基本运算公式uCuCgrad)(grad(2)uvvuvugradgrad)(grad(4)zfyfxf,,19例1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性)2,2,1(92)2,2,1(9220例2：求函数xzzyyxzyxf,,在点M（1，0，－1）处的最大方向导数。解：11,0,1xf11,0,1zf01,0,1yfkifgrad1,0,1在点M（1，0，－1）处的最大方向导数为：21011,0,1222fgradxxf1,0,同理;xzzyyxzyxf,,21yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,6)24()32(kzjyix故.1225)2,1,1(kjigradu在)0,21,23(0P处梯度为0.例3求函数22(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.例4已知函数23曲线1.(1)在点)1,1,1(coscoscoszyxMffflf解答提示:函数沿l的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量在点M(1,1,1)处24)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad1306arccoscos626Mfl25内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角),,为的方向导数为coscoscoszfyfxflf•二元函数在点),的方向导数为coscosyfxflf沿方向l(方向角为262.梯度•三元函数在点处的梯度为zfyfxff,,grad•二元函数在点处的梯度为)),(,),((gradyxfyxffyx3.关系方向导数存在偏导数存在••可微0gradlflf梯度在方向l上的投影.27P1082，5，6，8，10作业28yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解故x轴到方向l的转角4.;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数)4sin(2)4cos(lz.22这里方向l即为}1,1{PQ,例2求函数(,)cos(,)sinxyzfxyfxyl2942042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2.P131题16