异面直线所成角的几种求法

第1页共4页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。在△GHS中，设正方体边长为a。GH=46a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形），HS=26a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），GS=426a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。∴Cos∠GHS=61。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为61。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。BACDFEB1A1D1C1GHSRPQBACDFEB1A1D1C1第2页共4页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量1EA的坐标为（-1，2，1），向量FB1的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足cosθ=||||1111FBEAFBEA=222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(=-61。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为61小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到AM=21（AB+AC），NC=21AD+AC所以向量AM与向量NC的夹角θ（即角α或者α的补角）满足cosθ=||||NCAMNCAM，其中AM·NC=21（AB+AC）·（21AD+AC）=21（21AB·AD+AB·AC+（21AD）·AC+AC·AC）=21a2（41+2141+1）=21a2；ABCDMN第3页共4页|AM|2=21（AB+AC）·21（AB+AC）=41（1+1+1）a2=43a2；|NC|2=（21AD+AC）·（21AD+AC）=41+121a2=43a2。所以cosα=|cosθ|=32。例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=7，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知EF=EG+GF=BA32+CD31，设向量BA和CD的夹角为θ。则由|EF|2=（BA32+CD31）·（BA32+CD31）=4+1+4cosθ=7，得cosθ=21，所以AB和CD所成的角为60°。二、利用模型求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。可知PB⊥AB。所以cosθ1=PAOA，cosθ=PAAB，cosθ2=OAAB。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。这一问题中，直线a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。从引理中可以看出，我们需要过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。例4：如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。ABCDEFGPbABOαCDM第4页共4页解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45°，直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足cosθ=cos45°·cos45°=21，所以直线AC与MB所成的角为60°。例5：如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AD，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，射影AD与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°·cos45°=42，所以其大小为arccos42。由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到利用线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的介绍，不再重复。PEDFABC