同济版大一高数第九章第八节极值与最值

1高等数学第十二讲2第九章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法3一元函数的极值一元函数baxxfy,,fxfx存在1）若在0x的某领域内00xfxfxf则0xf为极大（小）值，0x为极大（小）点。2）若0x为极值点00xf（必要条件）3）若4）若xf的领域内变号，在0x必为极值。0xf值。大为极小0000xfxf3），4）为极值存在的充分条件。与一元函数类似，可利用多元函数的偏导数解决多元函数的极值问题。4一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有5xyz例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.xyzxyz6的图形观察二元函数22yxexyz7说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故0),(,0),(0000yxfyxfyx8时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P122).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC9例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A10在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC11例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此,022时当yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正负0在点(0,0)xyzo并且在(0,0)都有可能为12二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据13求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,例114解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,)4(),(2yxyxyxfz024),(0238),(yxyxfyxyxfyxxyo6yxD15在边界6yx上，即xy6于是由得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD)4(62462xxxxfx)4(),(2yxyxyxf23122xx)2)(6(2xx16求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由例2因为01lim22yxyxyx即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.17例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(3332322223318三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题。对自变量只有定义域限制。对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制。例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz19,0),(下在条件yx方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记.),(的极值求函数yxfz0),(yx,)(xy))(,(xxfz例如,故0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有0yxxyff20引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足0xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfFyyxxff21推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfF22例1.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P22yxz的距离为022zyx问题归结为(min))22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:作拉氏函数)()22(),,(222yxzzyxzyxF到平面23)()22(),,(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点2(22)20yFxyzy2(22)(2)0zFxyz2(22)20xFxyzx由实际意义最小值存在,647故24已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:CBAoyxED设C点坐标为(x,y),例2031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则10321yx25设拉格朗日函数CBAoyxEDACABSC21解方程组231080xyx224936(0,0)xyxy得驻点对应面积而比较可知，点C与E重合时,三角形面积最大。26将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解法一令)12(),,(23zyxzyxzyxF,)1(0322zyxFx解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为例3)2(023yzxFy320(3)zFxy)4(12zyx)2()1()3()2(0)23(2xyyzx0)2(3yzyxyx232yz将代入（4）27将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为例3解法二yxz12xu0)3436(22yxyxyu0)3224(3yxyx)12(23yxyxu28例4设在锥面解法一22yxhRzhzxOy)(411zhxyVV222222(,,)()()FxyzxyhzhxhyRz)4()3(0)2(0)1(022yxhRzFFFzyxRyx32hz322782hRV与平面的锥体内，作底面平行于平面的长方体，求长方解得唯一驻点体的最大体积V。所围成设最大体积V292782hRV)2()2(322xRxhRhxhx0)232(1xRhxdxdVRx32例4设在锥面解法二22yxhRzhzxOy与平面的锥体内，作底面平行于平面的长方体，求长方体的最大体积V。所围成)(411zhxyVV最大体积得令30例5.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则zyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2213zRS0,0,0zyx设拉氏函数解方程组,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为32sin322maxRS0cosy0cosz02zyx31例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本不同，第一个工厂生产x件产品和第二个工厂生产y件产品时的总成本是;70052,22yxyxyxC若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总成本最小。解：根据题意是求70052,22yxyxyxC在条件500yx下的极值。作辅助函数：50070052,22yxyxyxyxF3500254152yxxyFyxFyxxy321代入3得：375125yx根据题意可知：当第一个工厂生产125件产品，第二个工厂生产375件产品该公司的总成本最低。32内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法；,),(yxfz0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法。33设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF