同济版大一高数第十章第三节三重积分

1高等数学第十七讲2第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法第十章3一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为4定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作由定义可知,引例中物体的质量为:vdzyxM,,特别若在1,,zyxf上那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:VdV5性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理.在有界闭域上连续,则存在,),,(使得vzyxfd),,(Vf),,(V为的体积,三重积分存在定理:当函数zyxfzyxf,,,,,上连续时在闭区域在区域上的三重积分必定存在,此时称函数.,,上是可积的在zyxf6二、三重积分的计算1）利用直角坐标计算三重积分方法2.投影法(“先一后二”)方法3.截面法(“先二后一”)方法1.三次积分法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:7投影法方法1.三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdzxyD),(2yxzz),(1yxzz二次积分即得:Dyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(dd)(2xyxoyDbax)(1xy8其中为三个坐标例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解::zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10x481面及平面9zxyDDyxdd方法2.投影法(“先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),,(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(ddyxzyxfdd),,(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzzyxdd微元线密度≈记作10例2:计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy所围成的区域.0yzx22解法一:采用先对z积分,将Izdzxx20sinydyx0xd20xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx11ab方法3.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzd记作12xyz例3.计算三重积分解::zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddczz02d23154cbaabc用“先二后一”zDz13小结:三重积分的计算方法方法2.“先一后二”方法3.“先二后一”方法1.“三次积分”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxZDbayxzyxfzdd),,(d),(),()()(2121d),,(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.14oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.z200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxM)0,,(yx15如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),,(其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有2222,zxyx等因子。16其中为由例1.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所围解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面cos2成半圆柱体.17例2:求由圆柱面2040:40:yxDyz401622zyzyx及平面所围成的物体的质量.物体的密度为22.,.xyzxy解:vdyxMD22zdddD20d402dsin40zd204043sin4134d20sin643256d3512x0yz18ooxyz例3.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhz42dhdh2022)4(12h202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvdddd原式=19ooxyz例3.计算三重积分解:用先二后一hhzI0dzdzh02)1ln(02Z202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面zvddddzyxDZ4:22zD20例4.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zD213.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrz22xyzo如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddrrdrdvd因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd积分域是由球面、锥面所围成。被积函数中含有222zyx的因子。dddsind2rrvdrdsinr23例1.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,,cos0:3ar利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xozdddsind2rrvyzxar24例2.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr25zoxy2例3.设由锥面和球面所围成,计算提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d2253226例4：计算vdyxzI22所围成。＝平面和是由锥面其中122zyxz解法一：采用球坐标计算ddrdrrrIsinsincos2152cos10:r402020dsin22ryxcossinrxsinsinry40cos1042cossinrdrdxyzo27例4：计算vdyxzI22所围成。＝平面和是由锥面其中122zyxz解法二：采用三次定积分计算2010:1:yxDz101220zdzddddzdzI2152xyzo28yxDydxdyxI22122yxzdzyxDydxdyxyx22221212021drdrrr1021152解法三：采用先一后二计算1:22zyx1:22yxDyx例4：计算vdyxzI22所围成。＝平面和是由锥面其中122zyxzxyzo29解法四：采用先二后一在处用垂直于z轴的平面去截,222:zyxDZ得到截面域zDydxdyx2210zdzI10zdz20dzrdr02152例4：计算vdyxzI22所围成。＝平面和是由锥面其中122zyxzxyzozD(01)zz30例5.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.31解法一:例5.计算所围成.其中由32思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?解法二:例5.计算所围成.其中由33例6.计算Idzezyyzy10)1(2)1(dzeydydxIzyyxx2)1(101010)1(解:积分域为平面x+y+z=1与三个坐标面所围四e41交换积分顺序，得zx1y11zyD练习计算dzzzdydxIyx00101sin面体,dxzy10dydzeyzyDzy2)1()1(10)1(dyy34内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;352,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0