同济版大一高数第十章第四节重积分的应用

1第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第十章21.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性•从积分定义出发建立积分式•用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法3xyz),(yxfzD、一般立体的体积2dyxzyxzVD)),(),((12•曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为DyxyxfVdd),(dyxfvd,一、立体体积zxyD),(2yxzz),(1yxzz41体的体积V.DrdrdrrV)2(22212202drr提示:先求曲面的交线在xoy面上的投影域D.)(22222yxzyxz与所围立)(22222yxzyxz消去z得D的边界由0122zyx例1.求由曲面ozxy2222DDdrrdrd522243Ryx22243:RyxD222yxRVDrdrrRdR230222023125R例2.求球体2222Rzyx公共部分体积.与Rzzyx2222求两球交线的投影.解：由投影域2222RzyxRzzyx2222消去z得DDdRRzyxo2RD6例3.求由平面所围成的柱体被平面及旋转抛物面截得的立体的体积V.x+y=1DyxO11解:xzx+y=16yD7xoyza2例4.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar0200dsin20drrvdddsind2rM8高等数学第十六讲9MAdzdn二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd1,,yxffnd),(),(1d22yxfyxfAyx称为面积元素则Mnd),(),(11cos22yxfyxfyx10故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即11xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,,AyxDxzDzzyxFFFF222且yxdd12例1.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220])1)1([32232R出的面积A.13求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,于是,222yxaa解)0,(yx例2221yzxzoxyza214面积dxdyzzADyx1221412224Ddxdyyxaacos0220142ardrrada.4222aaoxyza215例3.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为ar球面面积元素为ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法2利用直角坐标方程.(见书P167)方法1利用球坐标方程.axyzoddsina16例4.求由曲面和所围成的体积V和表面积S.解:(1)易求出利用二重积分,得17(2)18三、物体的质心设空间有n个质点,,),,(kkkzyx其质量分别,),,2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心19将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),,(),,(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),,(ddd),,(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点20同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),,(ddd),,(zyxzyxzyxzyxzzddd),,(ddd),,(,),,(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd21若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度xMyM—对x轴的静矩—对y轴的静矩224例1.求位于两圆和的形心.2D解:利用对称性可知0x而DyxyAydd1Drrddsin312rrdsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC23设平面薄板由)cos1()sin(tayttax，)20(t与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．解先求区域D的面积A，20t，adxxyA20)(0)]sin([)cos1(2ttadta022)cos1(2dtta.3221431622aaDa2a)(xy例202222)2sin2(4tdta2042sin16udua2tuax20利用对称性24所以形心在ax上，即ax,DydxdyAy1)(0201xyaydydxAadxxya2022)]([61203]cos1[6dttaa65所求形心坐标为由于区域关于直线ax对称，Da2a)(xyaa65,.32aA设平面薄板由)cos1()sin(tayttax，)20(t与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．例225例3.计算其中D是由曲所围成的平面域.解:2223)2()1(yx其形心坐标为:面积为:DyxxIdd59]23)1(5[ADyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx3526四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数.),,(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元vzyxyxd),,()(22因此物体对z轴的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),,()(22zIdxyoz对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.27类似可得:(,,)dddxIxyzxyz(,,)dddoIxyzxyz)(22zy)(22zx)(222zyx对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量][21zyxIII28如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),,(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx29rraddsin0302例1.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23241aM半圆薄片的质量221aMoxyDaa的转动惯量.3022sinr解:取球心为原点,z轴为l轴,则zyxyxddd)(22dddsin2rrolzxy132220d球体的质量334aMdsin03rrad04例2.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)