同济版大一高数第十一章第三节格林公式

1高等数学第二十二讲2第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章3引例：计算ydxexdyeIyxLyx33积分路径沿着圆周1:22yxL的正向。解法：应用格林公式由于二重积分和平面的曲线那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？本节介绍格林公式将指出，二重积分可以化为沿区域D的边界曲线L正向的曲线积分，在平面闭区域D上的这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。x0y积分都是化为定积分来计算的，4LD区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式证明：即要证DydxdxQDydxdyPLxdPLydQ5证明:bxaxyxD)()(:21则ddDPxyybaxxxPd))(,(2)()(21dxxyyPbaxxxPd))(,(1baxddcyxoECBAbaDDydxdyPLxdPLxdPACBBEAPdxPdxdxxxPdxxxPabba21,,baxxxPd))(,(1baxxxPd))(,(26即同理可证①②①、②两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd7yxoL2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域,如图)(的正向边界表示kkDD证毕8引例：计算ydxexdyeIyxLyx33积分路径沿着圆周1:22yxL的正向。解法：应用格林公式D3,xeyxQyx23yeyPyx23xexQyxydxdyxD223201033rdrd23x0y113,yeyxPyxLDQPIdxdyxy9例1：利用格林公式计算LydyxdyxI22L由曲线的正向边界曲线。所围成的区域直线和Dxyxy230xDy1,1M解：画出闭曲线及其所围成的区域D。22yQyxP02xQxyPDydxdxI210232xxydxdx10322xdxxx44141113104311xxxy32xy1.简化曲线积分简单应用10例2计算：LyxydexxdeyI11其中L为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).xAy0B解：,xyPQeeyxydeexdxxy)(1020102)21(xdxeexx7212eDxyLdee)(xyOB2:11,)()(22222dyxexdxxeyIyLy计算.4)2(22的正向为闭曲线其中yxL:解22222),(,),(xexyxQxeyyxPyy所以由格林公式yxyPxQ22DdxdyyxI)22(cos40220cos4drrd16Ddxdyx2204cos3644d例3AX2422164D2x0y12例4.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证:令,,22xQyxP则利用格林公式,得yxxyxLdd22Dyxdd0013例5.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令,022时则当yx设L所围区域为D,,)0,0(时当D由格林公式知yxoL.:条件应用格林公式要注意其注意142222220cossind2,)0,0(时当D在D内作圆周222:,lxy取逆时针方向,1D,对区域1D应用格lyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDL1Dloyx记L和lˉ所围的区域为林公式,得15计算Lyxydxxdy22,则当022yx时,记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,.1)1()1()1(22的正向为圆周yxL.1)2(的正向为正方形yxL例6有yPyxxyxQ22222)(.由格林公式知Lyxydxxdy022.1)1()1()1(22的正向为圆周yxL16作位于D内圆周222ayxl:,记1D由L和l所围成,应用格林公式,得.1)2(的正向为正方形yxLLyxydxxdy22lLyxydxxdy22lyxydxxdy22202sinsin)cos(cosdtatatatata20dt2统一变量化成定积分lyxydxxdy22yPyxxyxQ22222)(.取顺时针方向。17DyaLxo其中L为上半圆周解:LOAOAI(sin2)dxOAeyyx20DdA2a沿逆时针方向.例7计算2cosyeyPxyexQxcos()DQPdxy18例82009年考研计算曲线积分是曲线解取辅助线由格林公式2sin22(1),LIxdxxydyLsinyx(0,0)(,0)其中L上从点到点的一段。1:0,0,Lyx11LLLI1001sin2cos202Lxdxx4DIxydsin004xxdxydy202sinxxdx20sinxdx220(sin)xfxdx0(sin)2fxdxyLxo19格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取,,xQyP得LDydxxdydxdy2闭区域D的面积LydxxdyA21.取,,0xQP得LxdyA2.计算平面面积取,0,QyP得LydxA20推论:正向闭曲线L所围区域D的面积LxyyxAdd21格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积2022d)sincos(21ababab21例9：用两种方法计算LydxxdyI220xyxy1L由曲线nAB解法122:1AnBxy其中101:xxyBA2033cossintdtt10221xdxx323234AnBBAI20sincosttytx2211xyxy围时针。和所成的逆方向(0,0).xy22例9用两种方法计算LydxxdyI22L由曲线解法222xQyPyxyPxQ2DydxdyxI2Dydxdx432421110xxydxdx)4(Dydxdy轮换对称法D0xyxy1AB2211xyxy围时针。和所成的逆方向(0,0).xy23例11.计算yxo其中L为(1)抛物线;10:,:2xxyL(2)抛物线(3)有向折线.:ABOAL解:(1)原式xxd4103(2)原式yyy222(3)原式)0,1(A)1,1(B2yx2xy10(yyd)410d0x10dy此题的特点：22xQyxPxQxyP224二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(2)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(3)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(4)yQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即(1)在D内每一点都有.xQyP25证明(1)(2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式,得yxyPxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕26说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(2)(3)设21,LL21ddddLLyQxPyQxPAB1L2L2ddLyQxP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(2))BAyQxPddAByQxPddydQxPdLL2127证明(3)(4)在D内取定点因曲线积分),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),,(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数28证明(4)(1)设存在函数u(x,y)使得yQxPuddd则),(),,(yxQyuyxPxuP,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyP29yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;30yAxoL例1.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:,AOD它与LyxyxyxIAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周所围区域为D,则431yPxQ0:yOA为了使用格林公式,添加辅助线段648331,)()(22LyxdyyxdxyxI计算.)0,1()0,1(222的弧其中L是曲线BAxy到从上解：因为22),(yxyxyxP22),(yxyxyxQyPyxxyyxxQ22222)(2)0,0(),(yx即不含原点的单连通域，积分与路径无关。取新路径的上半单位圆弧到为从)0,1()0,1(*BAL122yx例2x0y)0,1(A)0,1(B232其参数方程为tytxsincos＊）（＝LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0]cos)sin(cos)sin)(sin[(cos＝0dt＝,)()(22LyxdyyxdxyxI计算x0y)0,1(A)0,1(B2:0.t例2.)0,1()0,1(222的弧其中L是曲线BAxy到从上122yx33例3：计算ydxexxdyexIyLy22421,1:2，到由BAxyL解：yeyPy2xexQy2ydexxdexIyLyydxxdyL2221IIxQy