同济版大一高数第十一章第二节对坐标曲线积分

1高等数学第二十一讲2第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分第十一章3一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,ABLxy求移cosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABFABF)),(,),((),(yxQyxPyxF41kMkMABxy1)“大化小”.2)“常代变”L把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为F沿kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段上任取一点在kykx)),(,),((),(yxQyxPyxF53)“近似和”4)“取极限”nkW1kkkkkkyξQxP),(),(nkW10limkkkkkky)ΔηQ(ξx)ΔηξP,,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中为n个小弧段的最大长度)62.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作7LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxsLLyyxQxyxPsFd),(d),(d)),,(,),,(,),,((),,(zyxRzyxQzyxPzyxF)d,d,(ddzyxs类似地,81).存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP2).组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF93.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧LyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),((2)用L－表示L的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(则•定积分是第二类曲线积分的特例.说明:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!10二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。利用变量代入法可得上式左边＝右边dttxdtxdttydty证明：11特别是,如果L的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x对空间光滑曲线弧:类似有)(t)(t)(t)](,)(),([tttP,:)()()(ttztytx12例1.计算,dLxyx其中L为沿抛物线xy2解法1取x为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy解法2取y为参数,则从点的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx13例2.计算其中L为222,:,yaxxaa(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为xyLd232a或取L的方程为ta202sinttad)sin(132334a则则yBAoaax14例2.计算其中L为,:,0aaxy(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(2)取L的方程为则yBAoaax15例3：计算：LyxydexxdeyI11其中L为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).xAy0B解：BOABOAL1000:xydyOA01:22:xxdydxyBO2001:yxdxAB10xdeIx202ydey012]1212[xdexexxx102xdexx202ydey10212xdexx7212e16ozyx例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttztttcos)sincos22(ttd)cos41(220217例5.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)yxza18(2)令利用“偶倍奇零”19例6.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)ttkR2022d)((2)的参数方程为ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.其中为20三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysxQsysxPldcos)](),([cos)](),([0LsyxQyxPdcos),(cos),(yx0ABMSdydxd21类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令,),,(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(costsAdstAd22)1,1()0,0(:,),(),(2BOxyLdyyxQdxyxPL到从点沿其中化为对弧长的曲线积分把:解)(),(向沿处切向量中任一点OByxL}2,1{xT2xyxx方向余弦,cos2411x.412cos2xxdyyxQdxyxPL),(),(?:反向若思考L例1LdsxyxxQyxP241),(2),(23例2.将积分化为对弧长的积分,解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212,22xxx1yyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x其中L沿上半圆周24二者夹角为例3.设曲线段L的长度为s,证明连续,证:sQPLdcoscos设sQPLdcoscos说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上)cos,(cos,),(tQPAstALdsALdcos251.定义kkkknkyQxP),(),(limkk102.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结263.计算,)()(:tytxL:ttttQttPd)](),([)](),([)(t)(t•对有向光滑弧•对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x27:,)()()(ttztytx)](,)(),([tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddzRyQxPddd)](,)(),([tttQ)](,)(),([tttRtd•对空间有向光滑弧:28F点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到),(yxMxyo)0,(aA),0(bB提示:yykxxkWddAB:ABtaxcostbysin20:t(解见P139例5),),(yxOMF的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.),(yxkFF),(xyk思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则29如图其中LdyxydxL,2BCABL弧BCLAB弧BC方程为xy2BCdyxydx2dxxx01212)()(6112201dxxx)(弧ABdyxydx2dxxxx)(22211322211dxx67611322)(Ldyxydx:解例5.30)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz例7.已知为折线ABCOA(如图),计算解:001d)1(yy10dx2)211(101d2xI1yx1zyyxABddzyyBCddOAxd