伯努利概型与全概公式

概率论与数理统计1概率论与数理统计2定义:若两个事件A、B中,任一事件的发生与否不影响另一事件的概率,则称事件A与B是相互独立的，事件的独立性.)()()(BPAPABP且即也都相互独立与与与则下列三对事件相互独立与若事件定理.;;,BABABABA;)()(1)()()()1(BPAPBPAPBAP;)(1)()()()()2(BPAPBPAPBAP.)(1)(1)()()()3(BPAPBPAPBAP返回概率论与数理统计3)(1)(BAPBAP若事件A与B相互独立?)(BAP)(1BAP).()(1BPAPBABA)()()(BPAPBAP).()(1)(BPAPBAP概率论与数理统计4.)()()(1)(.)()()()(,,,321321321321321APAPAPAAAPAPAPAPAAAPAAA则相互独立如果事件以上两个公式还可以推广到有限个事件的情形:概率论与数理统计5分析1：分析2：思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？相互独立。，故从而BAABPBPAPABPBPAP,)()()(,261522)(,215226)(,131524)(相互独立。，故从而BABAPAPBAPAP,)|()(,131262)|(,131)(定义概率论与数理统计6设一枚硬币独立掷两次，}{1第一次出现正面A}{2第二次出现正面A}{3正、反面各一次A}{4正面出现两次A)(则事件两两独立、、两两独立、、相互独立、、相互独立、、432321432321)()()()(AAADAAACAAABAAAA概率论与数理统计7某人应聘甲公司品酒师职位,该应聘者声称能以90%的准确性判别出两种不同的酒,并可以依此提出相应的推销建议.为了检验应聘者的辨酒能力以决定是否录用,甲公司对该应聘者进行测试.让他连续分别品尝两种酒10次,二次间的间隔为3分钟.若应聘者在10次辩别中至少有7次能准确判别出两种不同的酒,则给予录用,否则,就拒绝录用.问题:(1)上述测试方法使公司被冒牌者蒙到岗位的概率有多大?(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大?(3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的行家拒之门外的概率都变小?概率论与数理统计8伯努利概型设随机试验满足(1)在相同条件下进行n次重复试验;(2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;(3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P;(4)各次试验是相互独立的.则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。概率论与数理统计9定理在伯努利概型中,若一次试验时事件A发生的概率为P(0P1),则n重独立试验中事件A恰好发生K次的概率为其中,knkknnqpCkP)(.,,2,1,0,1nkqp事件A发生了k次共作n次试验A发生的概率A不发生的概率概率论与数理统计10一枚硬币掷３次，恰有一次正面向上的概率为？正面向上A正面向下A3132CP解法一：)(AAAAAAAAAPP解法二：2)21(212113)21()21(C3概率论与数理统计11例1已知一批产品的废品率为0.05,设有放回地抽取5件产品,求恰好抽到1件废品的概率.解:由于用有放回抽样的方式,故每次抽得的结果是相互独立的,且产品只有合格与废品两种结果,故可以按5重伯努利概型计算事件的概率.已知则,95.0,05.0qp0407.0)95.0()05.0()1(41551Cp概率论与数理统计12引例求解解:用A表示应聘者在品尝测试中的判断正确,表示应聘者在品尝测试中的判断不正确.则测试问题符合n=10的伯努利概型.用k表示10次品尝测试中应聘者判断正确的次数(即A发生的次数),用伯努利概型的公式我们可以分别解决所提的问题.A(1)若应聘者并非行家而是冒牌者,则其在每次品尝测试中的判断正确(蒙对)的概率为0.5,即P(A)=0.5,根据公式有:}10{}9{}8{}7{}7{kPkPkPkPkP101010199102881037710)5.0()5.01()5.0()5.01()5.0()5.01()5.0(CCCC%19.171719.0)5.0)(11045120(10即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上)的概率仅为17.19%,所以机会是很小的.概率论与数理统计13(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断正确的概率为0.9,即P(A)=0.9,根据公式有:}10{}9{}8{}7{}7{kPkPkPkPkP101010199102881037710)9.0()9.01()9.0()9.01()9.0()9.01()9.0(CCCC由此可知,当应聘者为真正行家时,则其在品尝测试中通过测试的概率为98.72%,即被拒绝的概率仅为1-98.72%=1.28%,也就是说测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率仅为1.28%.3487.03874.01937.00574.0%72.989872.0概率论与数理统计14(3)测试方法要使被冒牌者蒙到岗位的概率变小,则测试通过的条件就必定更苛刻,但苛刻条件自然令真正的行家能通过测试的机会变小,即将真正的行家拒之门外的概率变大.例如将判断正确的最少次数从7提高到8,则(1)中冒牌者通过测试的概率就从17.19%下降为5.47%,而(2)中将真正行家被拒之门外的概率就从1.28%上升为7.02%.因此,使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的行家拒之门外的概率都变小测试方法是不存的.因而,只能在两者中取其一.概率论与数理统计15例2某射手每次击中目标的概率是0.6,如果射击5次，求至少击中两次的概率.解:由于每次射击是相互独立的,且只有击中与未击中两种结果,故可以按5重伯努利概型计算事件的概率.已知则,4.0,6.0qp)1()0(1)()(52次击中次击中次击中至少击中两次PPkPPk913.0)4.0()6.0()4.0()6.0(141155005CC概率论与数理统计16解：设需配置n枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以可以看作n重伯努利试验。设A={导弹命中目标}，B={命中目标}，则P(A)=0.6，从而有练习、某导弹的命中率是0.6，问欲以99%的把握命中目标至少需要配置几枚导弹？99.04.06.0)(1nkknkknCBP01.04.099.04.01)(1)(nnBPBP03.501.0log4.0n所以至少要配置6枚导弹才能达到要求。概率论与数理统计17这是否合理。。试从概率的角度分析人认为这些是不可能的但是，也有来形容有志者事竟成。功夫深，铁杵磨成针”“只要常常用“水滴石穿”、在平常的生活中，人们例：,0发生的概率为设一次实验中，事件解：A,次独立重复该实验n至少发生一次的概率。次实验中事件本题考虑的是，An这属于伯努利概型。，则至少发生一次次实验中设}{AnB)(1)(BPBP1nnC)1(00n)1(1])1(1[limnn1果。就会产生不可思议的结道的小事，只要坚持，由此可见，一件微不足概率论与数理统计18定义设两个事件A、B，且P(B)0,则称为在事件B发生的BAP|前提下，事件A发生的条件概率。APABPABPAP|0,有若同理条件概率BPABPBAP|计算公式：重点回顾概率论与数理统计19定理设A、B是随机试验E的两个随机事件，若P(B)0,则BAPBPABP|或若P(A)0,有ABPAPABP|乘法公式概率论与数理统计20例1某商店仓库中的某种小家电来自甲、乙、丙三家工厂。这三家工厂生产的产品数分别为500件、300件、200件，且它们的产品合格率分别为95%、92%、90%。现从该种小家电产品中随机抽取1件，求恰抽到合格品的概率。全概率公式概率论与数理统计21并有且互不相容可知由题意个产品是合格品表示抽到的厂的产品丙乙甲分别表示抽到的产品是设解,,,,.1,,,,,:321321321AAAAAABAAA3.01000300,5.0100050021APAP2.010002003AP90.0|,92.0|,95.0|321ABPABPABP概率论与数理统计22根据乘法定理：.”“—|111的可能性概率合格品厂生产的抽样恰好是AABPAP.”“—|222的可能性概率合格品厂生产的抽样恰好是AABPAP.”“—|333的可能性概率合格品厂生产的抽样恰好是AABPAP概率论与数理统计23根据加法定理：一件抽样不可能既是某厂生产的，同时又是另一个厂生产的，即三个事件属互不相容事件（互斥）；不管这件抽样属于哪一个厂生产的合格品，都认定为“抽到合格品”，故三个事件的概率相加就是题目所求。即iiiABPAPBP|3190.02.092.03.095.05.0931.0概率论与数理统计24定理(全概率公式)有则对任一事件且即的事件互斥是互不相容若BniAPAAAjiAAAAAinjin.,,2,10,,,,,2121iniiABPAPBP|1完备事件组概率论与数理统计25例2某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。0345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(31iiiABPApBP概率论与数理统计26例3人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。64.0概率论与数理统计27练习、用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率.解：设A、B、C是由第1,2,3个机床加工的零件D为产品合格,且A、B、C构成完备事件组.则根据题意有P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.94,P(D|B)=0.9,P(D|C)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.93概率论与数理统计28解：设A={A仓库保管的麦种},B={B仓库保管的麦种},C={C仓库保管的麦种},D={发芽的麦种}，则P(A)=0.4,P(B)=0.35,P(C)=0.25,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.92,P(D|C)=0.90,P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.927练习、某村麦种放在A,B,C三个仓库保管，保管量分别点总量的40%,35%,25%，发芽率分别为0.95,0.92,0.90,现将三个仓库的麦种全部混合，求其发芽率。P23:1.28概率论与数理统计29课后作业概率论与数理统计30第一次课后作业习题一：P201.2（1）（3）（5）（7）1