解析几何考点和答题技巧归纳

第1页共3页解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式/不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程/不等式进行变形，化简，消元，计算，最后求出所需的变量的值/范围等等难点：上述两个环节中变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习：1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如：①直线和圆：突出平面几何知识的应用（d和r的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。②圆锥曲线的定义、方程、基本量（a、b、c、p）的几何意义和计算③直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④弦长、弦中点问题的基本解法⑤一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论…中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力①引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想②积累常见的翻译转化,建立常见问题的解决模式③一定量的训练,提高运算的准确性、速度,提高书写表达的规范性、严谨性●具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：①条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？②能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处：①选择合适的方法；②避免中途迷失[注]关于消元常用的消元法：代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标点差法弦中点与弦斜率的等量关系……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：①点在曲线上点的坐标满足曲线方程第2页共3页②直线与二次曲线的交点点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x1+x2=…‚x1x2=…y1+y2=…‚y1y2=…③两直线AB和CD垂直01ABCDABCDkk④点A与B关于直线l对称中:AB的中点l垂:AB⊥l⑤直线与曲线相切圆:d=r一般二次曲线:二次项系数≠0且=0⑥点(x0,y0)在曲线的一侧/内部/外部代入后f(x0,y0)0或f(x0,y0)0⑦ABC为锐角或零角BA→∙BC→0⑧以AB为直径的圆过点CCA→∙CB→=0|CA|2+|CB|2=|AB|2⑨AD平分BACAD⊥x轴或y轴时:kBA=−kACAD上点到AB、AC的距离相等AD→∥(AB→+AC→)⑩等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11A、B、C共线AB→∥BC→kAB=kBCC满足直线AB的方程……[注]关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：①如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关,那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；②如果几何关系翻译为交点的坐标表示后，与x1+x2,y1+y2相关（如：弦的中点的问题)，还可尝试用“点差法”（“代点相减”法）来整体消元，但仍需保证0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法（不能太过模式化，也不能没有模式化）如：①求曲线方程：待定系数法直译法定义法相关点法参数法…难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。②求范围/最值：等式型(函数型):由几个变量的等式来求其中某个变量的范围不等式型:均值.注意等号成立的条件几何意义:两点间线段最短‚垂线段最短‚切线相关等③定值/定点：常见模式：很多定值定点问题（也是定值问题――坐标是定值）就是求某个变量的值，通常由条件列出的独立方程个数少于变量的个数，但由于其形式的特殊性，通过消元后恰好能求出某个（或几个）变量的值（而其他变量的值却仍无法确定）如：第3页共3页消去：22535tt=3约去：6103522tt=21范围约束：0422yx04yx0142yxx=4恒成立之系数为0：xxt3542对λR恒成立4530tx或恒成立之系数成比例：mxxxt3514102222对λR恒成立22526mtx等等。关于结论：关于定值定点，有很多总结好了的结论，重在这些结论推导的过程,而不必刻意让学生去记忆这些结论。3、一定量的训练，提高运算的准确性、速度，提高书写的规范性、严谨性（1）示范和训练相结合,舍得花时间！不同的设元，消元方案，不同的转化、“翻译”方法，带来的计算量也可能大不一样，需要通过一定量的实践来提高敏感度，提高灵活性，使自己能尽快地发现原有方案的不合适之处，并迅速调整，尝试。书写的习惯影响计算的速度和准确性。可以考虑在开始时不过于要求速度。而专重视“一次计算”的准确性（“落笔对”）。逐渐养成“一个字写完了再写下一个字”、“减少跳步”、“折叠使用草稿纸”等好的习惯。规范的表达源自老师的板书展示和对平时作业的严格要求，也是一种习惯。老师要舍得用课堂时间带着学生一步步计算，要舍得让学生在课堂上独立完整地计算整道题。（2）常用的“小方法”①涉及直线、圆的问题充分利用平面几何知识②点差法③经过某处点的直线与二次曲线必定相交④直线方程的设法⑤由对称性，形式上的一致性“同理”可得⑥定值定点问题可由特殊值法先得到结论⑦直线与二次曲线相交且已知一个交点时，利用韦达定理求另一个交点⑧三角形（或多边形）的面积用平/直的直线割补后再求（3）常易忽略的细节①设直线时注意：直线与坐标轴垂直的情况单独考虑；②使用韦达定理之前，要确保0+要讨论二次项系数是否为0；③消元、换元时注意新旧变量的范围不仅仅是在解析中的问题了…④0OAOBAOB为锐角或零角同样0OAOBAOB为钝角或零角