同济版大一高数下第十二章第七节傅立叶级数

1高等数学第三十二讲2第七节一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十二章傅里叶级数3问题的提出非正弦周期函数:矩形波otu11tttu0,10,1)(是由不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt4tusin45)3sin31(sin4ttu6)5sin513sin31(sin4tttu7)7sin715sin513sin31(sin4ttttu8)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu9一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:tnAtnAnnnnsincoscossin令,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数)sincos(210xnbxnaannn为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.10xxnkxnkd)cos()cos(21定理1.组成三角级数的函数系证:1xnxdcos1xnxdsin0xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk11上的积分不等于0.2d11xxxndsin2xxndcos2,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在12二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf①②对①在逐项积分,得13xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2xxkxfakdcos)(1),2,1(k(利用正交性)),2,1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得14叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf),1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式②确定的①②以),2,1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里叶级数.称为函数15定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,)(xf()(),2fxfxx为间断点其中nnba,(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.16例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将f(x)展成傅里叶级数.oyx11170dsin12xnx0)cos(2nxnnncos12nn)1(121,2,3,nnxxfnsin])1(1[n12)(1n),2,,0,(xxxxxf0,10,1)(1877sinx]99sinx1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112)傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sinxoyx11说明:f(x)的情况见右图.19xoy例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:xxfad)(1001cosdxnxxna0d1xx0221x20201cossinnxnxdxnn2cos1nn2332设f(x)是周期为2的周期函数,它在01xnnxdsin20),2,1(nnbnn1)1((1,2,)n01sindxnxx42)1(1nann),2,1,0,)12(,(kkxx)sin)1(cos)1(1(121nxnnxnnnnxxfad)(10201dcosnxxnxoy23320cosnxxn21说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(04),2,1,0,)12(,(kkxx)sin)1(cos)1(1(121nxnnxnnnnxoy例2.上的表达式为2332设f(x)是周期为2的周期函数,它在22周期延拓)(xF傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法),[,)(xxf,)2(kxf其它23例3.将函数22[(1)1]1,2,nnn02sinnxdxn级数.oyx则xxFad)(10xxfd)(10222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(102sinxdnxn解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),22cos0nxn2422[(1)1]nn(1,2,)nxnxxfdsin)(12例3.将函数级数.展成傅里叶0aoyx25例4.展式为则其中系数提示:32利用“偶倍奇零”的傅里叶级数26三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为27例5.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此022coscos0xnxxdnxnnnncos21)1(2nn28n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:)(xf)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin)1(1yxo级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5292.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数],0[),(xxf周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数f(x)在[0,]上展成xoy301xyo例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,0dsin)1(2xnxx02coscosxnxnxnnnncoscos12,2,1,00nan)1()1(12nn),2,1(n02(1)dcosxnxn31x021xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数1xyo因此得f(x)=x+1的值不同.nxnxnnsin)1()1(1211)1()1(12nnnb),2,1(n32再求余弦级数.x1y将则有o0d)1(2xx0dcos)1(2xnxx0222xx20022cossinnxxdnxnn221121cos2nnnn(1,2,)n作偶周期延拓,0dcos[2xnxx]dcos0xnx33121xxcosx3cos312x5cos512说明:令x=0可得即412212(1)1nkncosnx1yox0,1,2,.nbn2112nann34内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理)sincos(2)(10xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(n注意:若为间断点,则级数收敛于2)()(00xfxf352.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数•奇函数正弦级数•偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法•作奇周期延拓,展开为正弦级数•作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习36思考与练习1.将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算?答:用系数公式计算时,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算.从而便于计算系数和写出收敛域.37处收敛于2.则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于.提示:2)()(ff2)(f)(f2222)4()4(ff2)0()0(ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为,xyo11383.写出函数傅氏级数的和函数.答案:xyo11