同济版大一高数下第十二章第二节数项级数及审敛法

1高等数学第二十九讲2二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章3一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”4定理2(比较审敛法)且存在对一切有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.两个正项级数,(常数k0),5121.1nn解1：21nun1nnv发散,例1：判断下列级数的敛散性11.2nn11nnvn211nnn1112nnn而收敛由比较判别法可知原级数收敛解2：nun1nvn1nn11而由比较判别发可知原级数发散。11nn6证明级数发散.证:因为2)1(1)1(1nnn而级数21nn发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.7例3.讨论p级数pppn131211(常数p0)的敛散性.解:1)若,1p因为对一切而调和级数11nn由比较审敛法可知p级数n1发散.发散,2）若,1p顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起ppppppp1518171514131211pppppp8181414121211312112121211ppp收敛121pq此式由比较判别法可知p1时，p级数收敛。8发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn11111123Ppppnnn9.211的敛散性判别级数nnn:解nnnnvnu21211nnv而级数.211收敛级数nnn例4收敛121nn10的敛散性！判别级数3)!2(!2!1nnn:解1!2!!(2)!nnun)!2(!nnn！)2()!1(nnnnn2)3(21）（21n收敛而级数121nn收敛！级数3)!2(!2!1nnn例511证明收敛设正向级数,1nnu收敛12)1(nnu收敛11)2(nnnuu:证明)(1收敛，1nnu0nu10,0nuNnN时，有当,2nnuuNn时，当收敛，而Nnnu收敛Nnnu2收敛即12nnu例6121nnuu,)(11111收敛而nnnnnnnuuuu收敛11nnnuu收敛11)2(nnnuu证明收敛设正向级数,1nnu证例61nnuu)(211nnuu13定理3.(比较审敛法的极限形式),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=+∞证明略！设两正项级数满足(1)当0l+∞时,14是两个正项级数,当时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv可得如下结论:对正项级数,nu,1pl0lunnlimpnl0发散nu收敛nulunnlimpn15比较审敛法的极限形式表明，无穷级数收敛与否最终取决于级数的一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。例如：)1(1nnunnvn1与为等价无穷小，发散，可以推得发散。)311ln(2nnnunnv)32(与为等价无穷小，收敛，可以推得收敛。可见，通过无穷小（大）的等价关系，简化1nnu中的,nu进而利用已知级数的敛散性来判断1nnu的敛散性。16的敛散性判别级数1)2)(1(1nnn:解)2)(1(1nnun收敛而级数121nn收敛级数1)2)(1(1nnn例721nvnnnnvulim2lim1(1)(2)nnnn17的敛散性.1321nnnnn解:nlim1根据比较审敛法的极限形式知原式收敛。2n321nnnn例8.判别级数18的敛散性.11nn例9.判别级数11sinnn的敛散性.解:n1~1sinn根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例10.判别级数1211lnnn解:121nn根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn211~)1ln(2nn发散，收敛，19例12：1.判别级数的敛散性:解:(1)111nn发散,故原级数发散.不是p–级数(2)故原级数发散.n20131nnnnnn311lim,11nnv而故原级数收敛.（3）解nnnvulim,311收敛nnnunn31取nnv311331limnnnn21122)11ln(cosnnnnn:解nnnnun22)11ln(cosnnn2)11ln(11lim232nnnnn而.原级数收敛（4）,1123收敛且nnnn1~)11ln(22定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散.1lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn)1(lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.23例1：判断下列级数的敛散性12.1nnn1321.3nnnn12!.2nnn解：解：nnnu2nnnuu1limnlimnnnn2211121由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。nnnu2!nnnuu1limnlim!221!1nnnnn由正项级数的比值判别法可知原级数发散。解：213nnnunnnnuu1limnlim321213nnnnnn比值判别法失效！124解因分母的最高次数与分子的最高次数之差为用比较法！1321.3nnnn673123则取671nvnnnnvulimnlim21316721nnnn116711nnnnv为p级数，且p1,则原级数收敛。251!.4nnnen解：nnnuu1limnlimnne111比值法失效，但的，的增大单调上升趋于是随ennn11,11nnuun都有对任何故级数发散。11)1()1(!limnnnnnen!nennnnnnnne)1(lim26nlim0!2nnn解：考虑以2!nnn为通项的级数21!nnnn用比值法知级数收敛，nnulim2!nnnnlim0例2：求证27定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级,limnnnu则证明:略！数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n说明:但,1p级数收敛;,1p级数发散.28例1：判断下列级数的敛散性12.1nnnnnnu2解：nlimnnnulimnnn221由正项级数的根值判别法可知原级数发散。1.2nnnen解：nnnenunnnulimnlimen由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。1313.3nnnnnnnu34313解：nvnnnvlimnlimnn3431由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。29定理6.（积分判别法）设()kffkuxf在),1[上非负单调连续函数，则1nfn与1fxdx有相同的敛散性。证明不妨设xf是单减函数，于是当1kxk有kfxfkf1从而有111kkkufkfxdx以及111nnkkkuxdxfkk11nkku即11nSuxdxfn11nS于是，若xdxf1收敛，表示xdxf1为常数，1kk30有1nSxdxfun11111ufxdx可知nS有界，根据定理级数收敛。xdxf1发散，因为xf在),1[上非负，xdxf1故当n.11xdxfn可推得nS无界，级数发散。只能有11nSuxdxfn11nS若31例2.判别级数的敛散性.解:xdxxp2)(ln1xdxpln)(ln1212lnlnpx12)(ln111pxpp所以，当1p时，反常积分发散，原级数发散；时，反常积分收敛，原级数收敛；1p2)(ln1npnn32二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理7.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS其余项满足.1nnur,,2,1,0nun设定义33证:)()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS是单调递增有界数列,又)(limlim12212nnnnnuSS故级数收敛于S,且,1uSnu2)(21nnuu21nnnuur故34收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛nnu10135(4))12()1(1nnn解设0121xxfx由02ln2112xxxf知0xxf单调减少，从而有,2,111nunfnfunnlimlim(21)0nnnnu所以，交错级数)12()1(1nnn收敛。36三、任意项级数的判敛法定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,111)1(nnn1110)1(nnnn收敛,则称原级数为条件收敛.均为绝对收敛。例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.nu可正可负可为零。37定理8.绝对收敛的级数一定收敛。证:设nv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu2,1nnu1nnu也收敛。)(21nnuu且nv,nu收敛,令38例1.证明下列级数绝对收敛:;sin)1(14nnn证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.39解nnnulim11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛..)1()2(12nnnen例1.证明