同济版大一高数下第十二章第三节幂级数

1高等数学第三十讲2第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章3一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.4称它为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数5例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x有和函数xS6二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数1,110xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称7ox发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M0,使8当时,0xx收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当0xx时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0x满足不等式0xx所以若当0xx满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00证毕9幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,,0R幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)称为收敛区间.ox发散发散收敛收敛发散10nnnuu1lim定理2.若的系数满足;1R;R.0R证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.即1x时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则1xxaaxaxannnnnnnn111limlim112)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除x=0以外的一切x原级发散,.0R对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R12对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为例1.求幂级数111limnnn13例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)nnnnaaRlimlim1!1n所以收敛域为.),((2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n0所以级数仅在x=0处收敛.1)1(!nn14例3.的收敛域.解法1令级数变为nnnnaaRlimlim1nn211)1(21nn2当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为即.31x15例3.的收敛域.解法2令级数变为nnnnaaRlimlim1n111n1当t=1时,级数为此级数发散;当t=–1时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,11t故原级数的收敛域为即.31x16例4.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,由比值审敛法求收敛半径.1()limlim()nnnnuxux2]!)1([!])1(2[nn2[!][2]!nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散故收敛半径为.21R142x当2(1)2nnxx故直接17注：若直接用公式22!1!22!!2limnnnnn2212!21!!!2lim222nnnnnnnnR41错！18求幂级数1122nnnx的收敛区间.解3523222xxx级数为缺少偶次幂的项)()(lim1xuxunnn1211222limnnnnnxx,212x级数收敛,,1212x当,2时即x例5,2时当x,211n级数为,2时当x,211n级数为级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为).2,2(19的收敛域.例6.解sin1!!nnnxxnn中，1limnnnaaR!(1)lim!nnnn的收敛区间为,.20三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为,,21RR令)(0为常数nnnxa1Rx,,min21RRRnnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx则有:21定理4若幂级数的收敛半径(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性可能发生变化.因此确定收敛区间时应单独讨论Rx时幂级数的收敛性。22例如：112)1(1nnxnxxSxxS1111x1、两边求导得：xdxxn0011nnxx11x新的和函数新的级数2、两边积分：xdxxdxSxx0011xx01ln左边：x1ln右边：0n0n11nxnx1ln1nnxn1x11nnn11nn发散1x收敛11xnn11312112ln123例1.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数1)(nnxxxxx11nnxx发散,24例2.求级数(1,1].x的和函数011)1()(nnnnxxSxxx0d11(1,1]x发散,1)1(nann112limlim1nnaaRnnnn解:1x时级数收敛。级数的收敛区间为25例3.求级数的和函数01)(nnnxxSxnnxxx00d1xxxx0d111)10(x及收敛,0111nnnxx11nan112limlim1nnaaRnnnn解:1x时，级数发散。26)1,0()0,1[x)(xS因此由和函数的连续性得:)(xS而,1)1(lnlim0xxx,)1ln(1xx,10x)10(x及例3.求级数的和函数27例4:在(-1,1)内求0n12121nnxn的和函数.解:设xS0n12121nnxn1,1xxSdxxnxn20)1(dxxn]20n00[nxxdxx0211xarctan0n12121nnxnxarctan11x时当1x41arctan111135728解法1:例5.则11!)1()(nnnxxS)(xS故有dxxSxdS)()(xeCxS)(,)(1)0(xexSS得由故得的和函数.因此得设xSxSxCxS)(ln!1nan!)1(!limlim1nnnaaRnnnn29解法2:例5.则11!)1()(nnnxxS)(xS故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS得由故得的和函数.因此得设0xSxS!1nan!)1(!limlim1nnnaaRnnnn30例6.解:设,31)12(22nnnS则212nnx251xx22)12()(nnxnxSnnnS2231)12(96731S22])([nnxx2224)1(35xxx31例7.解:设,1)(22nnnxxS则2112nnnxx21121nnnxx12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(212nnnxx12221nnxxnxx321nnnx101dnxnxx而xxxnnd011xxx01d)1ln(x故)2(212xxx21S33例8求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则34内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数•先求收敛半径R,再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.1lim,nnaanRnnnRalim1或1lim,nnaan1lim,nnnaR或352)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.362.在幂级数中,1nnaa12(1)22(1)nnn为奇数23,n为偶数6,能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.因为nnnxu)(lim2)1(2limxnnn当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立