同济版大一高数下第十二章第四节函数展开成幂级数

1高等数学第三十一讲2第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章3一、泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:4)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(25定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0xx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有6定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa显然结论成立.)0(0fa7二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开8例1.将函数展开成x的幂级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nx故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn(在0与x之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数9例2.将展开成x的幂级数.解:)()(xfn)0()(nf得级数:x其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2n!)1(n1nx12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(1)1(nnnxxsinnkn2,)1(k,012!)12(15!513!31)1(nnnxxxx12nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:1253!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx(P281)012!12)1(nnnxn02!2)1(nnnxn13例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.(P283)解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得级数mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,1411,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F则为避免研究余项,设此级数的和函数为162!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得17对应1,,2121m的二项展开式分别为(P285)xx21112421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21111x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn182.间接展开法x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例1将函数展开成x的幂级数.解:因为nxxx21)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.x1121nxxx1x1921()21fxxxx将幂级数.展成的:解)()(xxxf212113111)1(110xxxnnn而2122110xxxnnn例2(31xfnnnx01)()201nnnxnnnnx011321)(2121x20例3.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21xnnnnx2)1()1(0081nnnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x41x21例4将下列函数展开成x的幂级数解:,)1(02nnnx)1,1(x002d)1(nxnnxx01212)1(nnnxnx＝±1时,此级数条件收敛,,4)0(f,12)1(4)(012nnnxnxf]1,1[x因此22例5.将函数展开成x的幂级数.解:xxf11)()11()1(0xxnnn从0到x积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为利用此题可得11x上式右端的幂级数在x＝1收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛23)1(lnxx]1,1(x221x331x441x11)1(nnxn例6.将展开为x的幂级数.解:)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232xnnnxn])(1[12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(231124例7.将展成解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx32)4(!31)4(!21)4(121xxx的幂级数.)4(x3)4(!31x5)4(!51x25.sin2的幂级数展成将xxy:解xy2cos21210!)2(1)1(2121nnnnx2)2(,!)2(2)1(21121nnnnxn),(x:另解xy2sin12021211nnnxn)(!)()(dxxnynxnn))2(!)12(1)1((1200,!)2(2)1(21121nnnnxn),(x例826内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式(以后可直接引用)xe1),(x)1(lnxx]1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.212!!nxxxexnxx1ln27!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当m=–1时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(xx1121nxxx1x28思考与练习函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.