同济版大一高数下第十二章第一节常数项级数

1高等数学第二十八讲2无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十二章3常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节第十二章4一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,an表示边数增加时增加的面积,则圆内接正5引例2：一尺之棒，第一次去其一半，第二次再去所余之半，如此分割下去问：1、分割n次共去棒长多少？2、无限分割下去，共去棒长多少？解：01214181把所去之半排列起来：21221321n21此是公比为q=21的等比数列n2121212132qqan11121121121nn211S.2nnSlimnlim]211[n1nS.16引例3.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts知g2st则小球运动的时间为1tT22t32tg212122)2(1212g1263.2(s)设tk表示第k次小球落地的时间,注：第二项之后的系数是小球上升、下降的距离之和。2122121gtt232122gt7定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作则称级数发散.1(通项），,,2,1nnfun8当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然部分和nS当n依次取1，2，3，它构成一个新的数列,11uS,212uuS3123,,SuuunnuuuuS321nS级数是否收敛即为此数列是否有极限。9例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若qqan1)1(从而qannS1lim因此级数收敛,;1qaS从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为102).若因此级数发散;因此nSn为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则级数成为,a,0不存在,因此级数发散.11例2：判断下列级数的敛散性11131.1nnn此为等比级数，公比1134.2nnn31q131该级数收敛。解：原式＝111344nnn此为等比级数，公比34q1该级数发散。解：原式＝11)31(nnnn03440)31(nn12例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln13解)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和14例4.判别级数的敛散性.解:nnnln2)1ln()1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛,其和为15二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.16性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu)(nS这说明级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S17说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)])1()1[(1212nnn收敛。18性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数1nnu的前k项去掉,的部分和为nllknu1knkSS数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数19性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,S推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但发散.因此必有例如，用反证法可证例如20三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.21注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则nn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.2122例5.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.23,)(,}{11收敛级数收敛设数列nnnnaanna:证明,limAnann记,)(11Saannnnnkkkaak11)()()(3)(2)(1231201nnaanaaaaaannkknaa10例6.1也收敛证明级数nnankkknnkkaaknaa1110)(nkkknnnnkknaaknaa1110)(limlimlim即SA.1收敛级数nna