同济版大一高数下第七章习题课(1)xg

1高等数学第三十三讲2一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章3一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程4例1.求下列方程的通解yxy.1(只介绍解题的思路）xyy1yxu令22.2yxyyxu令yxy1.3解：解：解解：解：yxx1yxu令2yxyy.4111xxyxyxyy12225.0xdyxyydx22111yyyxx（贝努里）222xyyxy（齐次）5例2.求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示:(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解xeyeyxydd32Ceexy331两边同时积分xeyexydd31336方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为7例3.求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)0)1ln(dln2.12xxyyyxxd解通解]1[lnlncxdexexxxdxxxd2y])(ln21[ln12cxx83223632.32xxyyxyy方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令xQyxyP69解：方程两边同乘以，得代入公式，得解之得故原方程通解为(1)()(1)()1((1)())nPxdxnPxdxnyenQxedxc10例4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxfxexFxF24)(2)(11(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22例4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且.2)()(xexgxf12已知函数在任意点)0(,)(12yxoxxyy则)()1(y44)()()(2)(eDeCBA(P505题33)D例5处增量为xeyarctan提示：题中隐含初值问题13练习题:P353题2求以为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中14)ln(2dd)3(xyyxy提示:可化为关于x的一阶线性方程0dd)4(33yxyxxy提示:为贝努里方程,令2yz0d)5(22yxyxxyyyxxddd提示:为全微分方程,通解0d)3()6(24xyxyxyd提示:可化为贝努里方程令3zx微分倒推公式1323xyxyx15原方程化为2(10)yxxyxyxu2xydd故原方程通解uuexd2Cueuud2d2Cuuud2122u2xuxdd2xuudd2提示:令yxxu2上式两边同时平方得,22uuxy则16练习题:P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线y=f(x)上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xy此点处切线方程为它的切线在纵切线上的动点为(X,Y),17例3.求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)2yz令0)1ln(dln2.12xxyyyxxd解xdydyxdzd32原方程两边同除以xzxxxdzd1ln13y得xyxxxyy21ln21dd23原方程整理为通解z]1[lnlncxdexexxxdxxxd2y])(ln21[ln12cxx18.32343yxyyx求通解解原式可化为,32342yxyxy,3223134xyxyy即,31yz令原式变为,3232xzxz,322xzxz即一阶线性非齐方程伯努利方程例5原方程的通解为.73323731Cxxy