同济版大一高数下第七章习题课(2)xg

1高等数学第三十四讲2二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第七章3一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解4.212yyy求通解解.x方程不显含,),(dydPPyyPy令代入方程，得,212yPdydPP,112yCP解得，,11yCP,11yCdxdy即故方程的通解为.12211CxyCC例1.5xecybyay,)1(2xxexeyxxxexeCeCy21例2已知方程xxyexexxxyxeee有特解则方程的通解为再求线性齐次方程的通解.提示:()2xxxyxeee提示:将解代入方程,得62.二阶线性微分方程的解法•常系数情形齐次非齐次代数法7解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P352题3求下列微分方程的通解,01)6(2yyy提示:令则方程变为,01dd2pyppy8P354题4(2)求解02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?9.1)1()1(,)1(2yyexyyyx求特解解特征方程,0122rr,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy例3代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy设原方程的特解为xebaxxy)(2*xebxax)(2310故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy.1)1()1(,)1(2yyexyyyx求特解例3,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey11例4.设,)()()(0xxuduuxex,)(Cx求.)(x解:xxxuduuuduxex00)()()(两边对x求导)()()()(0xxxxuduexxx,1)0(求解可得)sincos()(21xexxx,)()(023xxuduxxex1)0(xexx)()(思考:设提示:对积分换元,令,uxt则有xxtdtxex0)()(12思考:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:xxuxuxex0d)()(xtxutu0013例5：设f(x)具有二阶连续导数00,01,ff且0][][2ydyxxfxdyxfyxyx为一全微分方程，求此微分方程的通解。解令yxP,yxfyxyxyxxf2yxQ,xQyP2xxfxf解得xCxCYsincos21令特解CBxAxy2*2*2xy2sincos221xxCxCxf142sincos221xxCxCxf利用1000ff1221CC2sincos22xxxxfyxP,yxxxyxyx)2sincos2(2yxxxx22cossin2yxQ,xxdxPyxU00,,yydyxQ0,ydyxxxxy)2sin2(cos0222212sin2cosyxyxxyxy通解cyxyxxyxy22212sin2cos15例7有特而对应齐次方程有解及微分方程的通解.解:将2()0,yxypxy代入代入再将xy1)(1xfyxy故所给二阶非齐次方程为331xyxy方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程16故xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习:一阶线性微分方程通解公式17例8(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)18所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy,1)0(y0)0(y其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为xe3119xe31代入初始条件可得故所求级数的和xeyyy,1)0(y0)0(y20P354题8设函数在r0内满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu)(rfr132rx利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为21例7.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;0)dd)(sin(dd322yxxyyx数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)0)(dddd222yyxyxydydxyyyx222)(dd3)(yy代入原微分方程0)dd)(sin(dd322yxxyyxxyysin①得22(2)方程①的对应齐次方程的通解为xxeCeCY21设①的特解为,sincosxBxAy代入①得A＝0,,21B,sin21xy故从而得①的通解:xeCeCyxxsin2121例7.设函数内具有连续二阶导数,且的解.(2)求变换后的微分方程满足初始条件xyysin①23xeCeCyxxsin2121由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为xeeyxxsin21