同济版大一高数下第七章习题课

1高等数学第三十三讲2一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章3一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程4例1.求下列方程的通解:将方程改写为xyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)0)1ln(dln2.12xxyyyxxd解通解]1[lnlncxdexexxxdxxxd2y])(ln21[ln12cxx53223632.32xxyyxyy方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令xQyxyP66例2.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxfxexFxF24)(2)(7(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22例2.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且.2)()(xexgxf8练习题:P353题2求以为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:原式：9)ln(2dd)3(xyyxy提示:可化为关于x的一阶线性方程0dd)4(33yxyxxy提示:为贝努里方程,令2yz0d)5(22yxyxxyyyxxddd提示:为全微分方程,通解微分倒推公式10练习题:P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线y=f(x)上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xy此点处切线方程为它的切线在纵切线上的动点为(X,Y),11二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第七章12一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解132.二阶线性微分方程的解法•常系数情形齐次非齐次代数法14解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P352题3求下列微分方程的通解,01)6(2yyy提示:令则方程变为,01dd2pyppy15P354题4(2)求解02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?16.1)1()1(,)1(2yyexyyyx求特解解特征方程,0122rr,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy例1代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy设原方程的特解为xebaxxy)(2*xebxax)(2317故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy.1)1()1(,)1(2yyexyyyx求特解例1,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey18例2:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:xxuxuxex0d)()(xtxutu0019例3：设f(x)具有二阶连续导数00,01,ff且0][][2ydyxxfxdyxfyxyx为一全微分方程，求此微分方程的通解。解令yxP,yxfyxyxyxxf2yxQ,xQyP2xxfxf解得xCxCYsincos21令特解CBxAxy2*2*2xy2sincos221xxCxCxf202sincos221xxCxCxf利用1000ff1221CC2sincos22xxxxfyxP,yxxxyxyx)2sincos2(2yxxxx22cossin2yxQ,xxdxPyxU00,,yydyxQ0,ydyxxxxy)2sin2(cos0222212sin2cosyxyxxyxy通解cyxyxxyxy22212sin2cos21例4有特而对应齐次方程有解及微分方程的通解.解:将2()0,yxypxy代入代入再将xy1)(1xfyxy故所给二阶非齐次方程为331xyxy方程化为设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程22故xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习:一阶线性微分方程通解公式23例5(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)24所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy,1)0(y0)0(y其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为xe3125xe31代入初始条件可得故所求级数的和xeyyy,1)0(y0)0(y