同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程

1高等数学第二十九讲2一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第七章3一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;其中P(x),Q(x)是x的已知函数，Q(x)为自由项。12称P(x)为变系数；4常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数设通解形式dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy5对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即设（1）的解为xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得1)()(ddxQyxPxy6解直接应用一阶微分方程通解公式25112xxQxxPCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(Cxexexxxxd1d1225d12Cxexexxd11ln2251ln2xexlncxdxx21211故原方程通解为例1.解方程7例2求微分方程0)sin(dxxyxdy的通解。解：原式整理为0sin1xxxyxyxP1xxQsin由公式得通解]sin[11Cxdexxeyxdxxdx]sin[lnlnCxdexxexx]sin[1Cxxdx]cos[1xCx8例3：求微分方程0tansinxdyydyx满足6|1xy的特解。上式不是一阶线性方程的形式，函数，方程可写为：yxyydxdcoscot此方程为一阶线性微分方程。通解：]cos[cotcotCydeyexydyydyyyCcsc2cos41解：若将x看成y的用通解公式有：,6|1xy58C特解：51cos2csc84xyy9yyxyydydxcossin2sincos,tan2sinyxy,2sintanyxydydxCdyeyexyycoslncosln2sinCdyyyyycoscossin2cos.cos2cosyCy求微分方程yxyyyysin2sincoscos的通解.例4解10例5求一连续可导函数使其满足下列方程:解:令txuuufxxfxd)(sin)(0xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf方程两边求导，整理得uxtudtd11解法1化为齐次方程,原方程变形为积分得将yxu代入,得通解例6：求下列微分方程的通解.ydxxdyydy12解法2化为线性方程.原方程变形为其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即ydxxdyydy13例7.),[)(0Cxfdxdyyx21fetf2222t4yx22t4)()().(tfdxdyyx21f222t4yx22)(22401()2()2ttfterfrdr)()(ttf24te8tf2t42t4te8ttf8tf)()(2848()(8)tdtttdtfteteedtc)(ct4e2t42010f)(1c)()(1t4etf2t42设且满足方程求解：即求导得：即从而求得通解又故所以tdrrrf20)21(214部分的面积,求曲线y)(xfy)0(3xxy).(xfyxyxydx03,两边求导得,32xyy解xyoxPQ3xy)(xfy例10轴的动直线被曲线如图所示，平行与与截下的线段PQ之长数值上等于阴影dxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).22(32xxeyx15二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)(1)()d(1)()d1(1)()dnPxxnPxxnyenQxexC16例1.求方程的通解.解:原方程两边同时乘以,1yz则方程变形为d1lndzzaxxx其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:2yxayxyyln112得:令两边同时对x求导得：yyxdzd217.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,2122xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以y例212dzdydxdxy原式,212212xyxdxdyy18例3：求03cos223xdxydyx的通解。原方程整理得：2cos3231xyxxyxxxcos323132方程两边同乘以:2x令3xZxxydzd23代入原方程整理得：,cos2yzydzd]cos2[cydeyezydyd原方程的通解：yecyyxcossin3yxxxcos2332解19用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy解,2)(222xxexyy2222()xdxxdxxyexeedxC所求通解为).2(222Cxeyx例420;)(sin1.22xyxyxdxdy解21sin()xdyydxxy,sin12zdxdz,sin2dxzdz分离变量法得,代回将xyz所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy用适当的变量代换解下列微分方程:例4,xyz令2()1,sin()dxydxxy,42sin2Cxzz,2)2cos1(dxdzz21内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(1,nzy令化为线性方程求解.2.伯努利方程(1)()d(1)()d1(1)()dnPxxnPxxnyenQxexC22思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程24例5.求方程的通解.解:注意x,y同号,,d2d,0xxxx时当yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式,得exey1故方程可变形为0d2d3yyxyyxxy1lndCy所求通解为)0(CCeyyx这是以x为因变量,y为自变量的一阶线性方程25例7.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00xy得21C故有)10(22xeyx262)再解定解问题1,0xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex)10(22xeyx)10(22xeyx27;1.3yxdxdy解,uyx令,1dxdudxdy则代入原式,11udxdu分离变量法得,1lnCxuu,代回将yxu所求通解为,1lnCyxy11yeCxy或另解.yxdydx方程变形为,1uudxdu用适当的变量代换解下列微分方程:例411,1dudxu