同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xg

1高等数学第二十九讲2全微分方程第五节一、全微分方程二、积分因子法第七章3判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程(又叫做恰当方程).①4),(yxyxo例1.求解0)33()35(222324ydyyxyxxdyyxx解:因为yP236yyxxQ故这是全微分方程,取,0,000yx则有xdxyxux045),(ydyyxyxy0222)33(5x2223yx3yx331y因此方程的通解为5x2223yx3yxCy331)0,(x5例2.求解解:21xyP∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为0ddd2xxyyxxx即,0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ解法二：取0100yxydxxdxyxuxy101,通解同上。注：00x),(yxyxo)0,(x)0,1(6利用曲线积分求解:,32422),()1,0(3Cdyyxydxyxyx,312142203Cdyyxydxxyx即.113212Cyxyxyy故方程的通解为.132Cyyx.0324223dyyxydxyx求通解解法1)2(3yxyyP46yxxQ)0(y方程为全微分方程.例37.0324223的通解求方程dyyxydxyx解,64xQyxyP是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy)()1(32yxdyd.132Cyxy原方程的通解为),1(32yxyd例362233232)(ydyyxdxxyyxd8常用微分倒推公式:)(ddd)1yxyx)(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx9这不是一个全微分方程,,12x就化成例2的方程：但若在方程两边同乘11xQyP思考:如何解方程即,0d21d2xyx021d2xyx或10二、积分因子法,0),(yx使为全微分方程,),(yx则称在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.若存在连续可微函数积分因子.11积分因子不一定唯一.)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan0ddyxxy例如,对可取12例1：求下列微分方程的通解ydyydxxdy.1解法1：写成全微分方程的形式：0)(ydyxxdy由于11xQyP原方程不是全微分方程在方程两边同时乘以)(ddd2yxyyxxy21y得：yydyydxxdy2即ydyxdln两边积分得通解：Cyyxln13解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将yxu代入,得通解ydyydxxdy.114解法3化为线性方程.原方程变形为其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即ydyydxxdy.1