运用数学开放题培养学生的创新思维

58运用数学开放题培养学生的创新思维《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。创新思维是整个创新活动的关键，是创新能力的核心。创新教育与学习必须着力培养这种可贵的思维品质。有了创新思维的人才能较顺利地解决新的问题，才能深刻地、高水平地掌握知识，并把这些知识广泛地迁移到学习新知识的过程中，使学习活动顺利完成。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，初中生正好处于这一关键年龄段。数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。创新思维指的是有创见的思维，即通过思维不仅能够揭示事物的本质及其内在联系，而且要在此基础上产生新颖的、前所未有的思维成果。培养学生创新思维能力，就是要培养学生思维的独创性品质。教学中，要引导学生独立、主动地掌握数学概念，独立完成定理的证明，积极鼓励学生思维的标新立异性和运用数学知识解决数学问题与实际问题。本文仅就如何运用数学开放题培养学生的创新思维能力谈些肤浅的看法。由于开放型问题的解决，一般要通过学生去观察、尝试、类比与归纳，加上严格的推理论证，与有明确条件和结论的封闭性问题相比，更有利于培养学生的创造性思维。因此教学中适当设制一些开放型问题，可以培养学生的思维的灵活性、广阔性和深刻性，克服学生思维的呆板性，从而培养学生的发散思维和创新能力。一运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性不定型开放题，所给条件包含答案不唯一的因素，包括条件开放和结论开放两个方面。在解题过程中必须利用已有的知识结合有关条件，从不同角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，培养学生思维的深刻性。159两盏电灯等式1运用条件型开放题，培养学生思维的选择性条件开放题是根据题中所给的结论要求，从同一的角度去寻找获得解决这个结论的条件。如：在学习北师大版八年级数学下册《探索三角形相似的条件》这一节时，我们可以设计这样的开放题：如图1，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，在什么条件下，△ADE与△ABC相似。由于条件开放，因此所添条件不唯一，只要能使△ADE与△ABC相似的条件都可以，于是学生就根据学过的知识寻找多种答案：从角的方面考虑应有：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或∠ADE=∠C或∠AED=∠B。从边的方面考虑应有：ABAEACADACAEABAD==或.还可以从其他角度去考虑这个条件，这样不仅可以使学生更深刻地理解相似三角形的判定，而且还可以提高学生学习数学的兴趣，从而提高学生创新思维能力。2运用结论型开放题，培养学生思维的广阔性这类开放题是指提供一定的条件，满足条件的结论往往有多种答案的题型。这需要学生灵活运用所学知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决。如：北师大版七年级数学下册P203页中有这样一道题目：请以给定的图形“○○、△△、＝”（两个圆，两个三角形，两条平行线段）为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。如下图就是符合要求的两个图。你还能构思出其他的图形吗？比一比，看谁想得多。这是一道图案设计能力与空间想象能力的趣味数学题，所涉及的知识点并不难，没有确定的答案，为学生展示了很广阔的思维空间，让你驰骋，只须“按要260图2FEDCBA朋友汽车漂亮路灯北京奥运求画图，且设计合理”都可，下面再给出几种设计：根据题目要求，可以让学生进行讨论，还可以设计出很多不同图案，这样既能培养学生学习兴趣，也能培养学生的发散思维和创新能力。二运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性和灵活性多向型开放题，是对同一个问题可以有多种思考方法，使学生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生创新思维能力。1利用一题多解型，启发学生思维这类开放题是指在同一条件下，可以有不同的解题思路，最终达到同样结果的题型。这就需要学生通过多角度、多方位、多层次地探究解题思路和方法，开阔学生的解题思路，从而培养学生思维的广阔性。例1如图2，在△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，试探究EF与BC的位置关系，并给予证明。分析：要探究EF与BC的位置关系，从图形上观察知EF⊥BC，要证EF⊥BC，图中EF、BC没有联系，如果能找到一条直线与BC垂直或平行BC，而与EF平行或与EF垂直，那么命题得证。证法1：作BC边上的高AD，D为垂足（如图2）∵AB=AC，AD⊥BC，361图3GFECBA图4HFECBA图5KFECBA图6DCBA∴∠BAD=∠CAD（三线合一性质），又∵∠BAC为△AEF的一个外角，∴∠BAC=∠E+∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAD+∠DAC=∠AEF+∠AFE，∴∠CAD=∠E.∴AD∥EF，∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.证法2：分析：过A作AG⊥EF于G（如图3），只要证出AG∥BC即可。而欲证两直线平行，只需证明∠EAG=∠C，便可大功告成。证法3：过E作EH∥BC交BA的延长线于H（如图4），易知∠H=∠AEH.∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°∠AEF=∠AFE，∠H=∠AEH⇒∠FEH=90°⇒EF⊥EHBC∥EH证法4：分析：延长EF交BC于K（如图5），如果证出∠FKB=90°，那么命题得证.通过一题多解使学生不满足把一道题正确地解出来，不满足于常规的一般解法，使知识结构的建立更加合理有序，进而融会贯通，培养了学生思维的敏捷性。2利用一题多变型，诱发学生思维这类开放题是指从一道题出发，通过逆向思维、探究新知、改变条件、引申结论、变化难度等手段，使原来一道题变成一类题，这类题的变化是开放的，只要合理都可以作为变式题。例2如图6，AB=AD，∠BAC=∠DAC，△ABC和△ADC全等吗？⇒∠AEF+∠AEH=90°EF⊥BC⇒462图7FEDCBA图8EDCBA图9EDCBA为什么？对于这题的证明比较简单，只要知道全等的判定条件就可得到.下面给出本例的几种变式题：变式①：如图7，AB=ED，∠BAC=∠E，EA=CF，△ABC和△EDF全等吗？为什么？变式②：如图8，AB=AD，AC=AE，△ABC和△ADE全等吗？为什么？变式③：如图9，AB=AD，∠BAD=∠CAE，AC=AE，△BAC和△DAE全等吗？为什么？通过一题多证和一题多变，拓展了思维空间，培养了学生的创造性思维，可使一些基础较差的学生也感到数学并非枯燥无味，从而对数学这门学科产生了浓厚的兴趣。因此，在数学教学中，发展创造性思维能力是能力培养的核心，教师要善于引导学生变换题型，灵活运用启发式，让学生善于提出问题和发现问题，以激发学生积极思维和求知兴趣，达到举一反三，触类旁通的效果。从而培养学生思维的灵活性和创造性。三运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性隐藏型开放题，是指解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意，则容易遗漏。这就需要我们在解题时要全面考虑问题，既要考虑条件的结论，又要考虑是否存在与问题有关的隐藏着的条件，这样才有利于培养学生认真审题的习惯和思维的缜密性。九年级学生学习完第二章“一元二次方程”后，第一节复习课上我出示了这样一道练习题：563例3已知关于x的方程（3k+1）2x-2xk-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以必须满足2b-4ac﹥0即2)2(k−-4（3k+1）×(-1)﹥0,解得k﹥41−.因此当k﹥41−时，方程有两个不相等的实数根。分析：本题存在两个隐藏条件，对于一元二次方程02=++cbxax,同学们常常忽视0≠a这一条件；在运用二次根式时，易疏漏0≥a这一条件，其实k的取值范围应同时满足：k﹥41−且31−≠k及0≥k.故本题k的取值范围为0≥k。四运用多余条件型开放题，培养学生思维的批判性多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素，这就需要在解题时，认真分析条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性。例4：假如用一根很长的钢缆沿赤道绕地球一圈后，把钢缆放长10米，此时的钢缆圈和地球之间的缝隙可以让一头牛通过，还是可以让一只老鼠通过？（已知地球的半径为6400KM）.本题有一定的挑战性，可以激发学生的探究兴趣，从中让学生感受数学的本质和作用。没解题时学生估计只能通过一只老鼠，而计算结果是通过一头牛都绰绰有余。学生一般由地球的半径为6400KM，得赤道长，钢缆圈的长，而后得到赤道的半径，再求得钢缆圈与地球之间的宽度，即缝隙，计算复杂，误差大。实际上题中的半径是可以不用的多余条件，解法如下：设地球的半径为Rm，钢缆的半径为R1m,则缝隙的宽度为（R1-R）m.由题意，得2πR1—2πR=102π（R1—R）=10R1—R=10/2π≈1.6(m)通过引导分析这类题，可以防止学生滥用题中的条件，有利于培养学生思维的批判性，提高学生明辨是非、去伪存真的鉴别能力。664五运用缺少型开放题，培养学生思维的独创性缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可以解答。在学习完九年级数学第二章“一元二次方程”的复习题C组后我出示了一道练习题：例5解方程组122=−=+cabba分析：这是一个有三个未知数两个方程所组成的方程组，显然用常规方法难以解答，即使可以也往往使人陷于进退维谷的尴尬处境。仔细观察方程组中a、b这两个未知数是以和与积的形式出现，由此联想到根与系数的关系，从而构成一元二次方程。解：由原方程组21,2cabba+==+，于是可设a、b为关于m的方程01222=++−cmm的两个根，所以04)1(4)2(42222≥−=+−−=−ccacb，但02≥c，故只有02=c，即0=c，从而有12==+abba解得11==ba.所以原方程组仅有一组实数解，即：.0,1,1===cba对这类开放题，教师在教学中要引导学生根据已有知识、经验和方法，对问题广泛联想、想象，积极探究，以便寻找规律，使问题得到合理解决。总之，学生创新思维能力的培养是一项长期、艰巨的任务。在平时的教学中，教师适当运用一些开放题，或用课本例题、习题，精心改造、编写，同时引导学生自编一些开放题，有助于启发学生的思维，可以帮助学生对知识的系统性、特殊性、广泛性有更深刻的理解。使学生知识视野更加开阔，能力进一步增强，从而培养和发展学生的创造性思维，提高数学教学质量。7