同济版大一高数下第七章第二节可分离变量的微分方程

1高等数学第二十九讲2转化可分离变量的微分方程第二节解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22第七章3分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.4例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)5例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y1ln2xC6解:xxxyyyd1d122分离变量例3求下列方程的通解:原式化为2222d1111xxyyd22ln1ln1yCx通解：2211yCx227有些微分方程需要通过适当的变量代换，化为变量可分离的方程。例4求微分方程为常数）aaxdydyx(22的通解。解令yxu则1xdudxdyd代入原方程得221axdudu即222uaxdudu分离变量得xduduau222xduduaa2221cxauauarctan通解为cayxayarctan8例5.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:uu2sin1uu2cos9例5.求下述微分方程的通解:yxyyyxlnln.2解:观察可将方程整理为:yxyyxln令xyu代入上式得:uxuulnxxduuudln分离变量后得:xxduudlnlnlnlnlnuCxxCeuCxuln通解:xCeyx10例6:解法1分离变量Ceexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令故有uedxdu1积分Cxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(11,0)1,0(,1FCF例7已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有]dcosdsin[),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfyxyFFyxtanxyytan10xyxycos1xsec]sin),([]cos),([xyyxFyxyxFxy12内容小结1.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.分离变量后积分;根据定解条件定常数.13思考与练习求下列方程的通解:提示:方程变形为yxysincos2Cxysin22tanlnxdxydycos2sin