向量与三角函数的专题复习综合

2014年4月27马长胜向量的相关概念及表示向量的线性运算平面向量的基本定理平面向量的数量积运算1、向量的概念、零向量、单位向量、相等向量、平行向量（也叫共线向量）、相反向量、向量的模、两向量的夹角、向量的坐标表示等2、向量的表示方法：几何表示法、符号表示法、坐标表示法1、几何运算：向量的加法用“平行四边形法则”和“三角形法则”，向量的减法用“三角形法则”，数乘向量考虑方向、长度2、坐标运算3、向量平行(共线)：=0（其中b是非零向量）//abab22()(||||)abab1212xyyx如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。其中e1和e2叫一组基底11221、平面向量的数量积：＝2、a在b方向上的投影3、数量积的性质4、数量积的运算律(不适合消去律、结合律)5、平面向量数量积的坐标运算、模、夹角bacosab(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2[例1]解析：由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0，故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2.又|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得λ＝23.答案:B两平面向量的线性运算和数量积考点一AEADCECABDBCABC则中，设的正三角形年湖南）在边长为（,3211141讲评本题考查向量的线性运算和数量积的运算，选取一组基底表示是关键。主要考查学生运算求解能力和数形结合思想解决问题的能力。AEAD、[例2](1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为()A．150°B．90°C．60°D．30°(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.（3）．已知2a－b＝(－1，3)，c＝(1，3)，且a·c＝3，|b|＝4，则b与c的夹角为________．两平面向量的夹角与垂直考点二[自主解答](1)∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a与c的夹角为90°.(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1.∴k＝1.[答案](1)B(2)13．已知2a－b＝(－1，3)，c＝(1，3)，且a·c＝3，|b|＝4，则b与c的夹角为________．解析：(2a－b)·c＝2a·c－b·c＝(－1，3)·(1，3)＝2.∵a·c＝3，∴b·c＝4.∴cos〈b，c〉＝b·c|b||c|＝44×2＝12.故〈b，c〉＝60°.答案：60°o例1已知:|a|=|b|=1,且a,b的夹角为120.问x为何值时,|a-xb|值最小?并求此时b与a-xb的夹角?复习向量模与夹角的计算衬托几何法的简捷美考点三平面向量模的计算与数形结合[例3]2222222211,||||cos1202||()2113()2413||22()0()90bababaxbaxbabxxabxxxxRxaxbbaxbbaxb解1:由题意知a且当且仅当时的最小值为与的夹角为o例1已知:|a|=|b|=1,且a,b的夹角为120.问x为何值时,|a-xb|值最小?并求此时b与a-xb的夹角?学生多选此解法[例3]o例1已知:|a|=|b|=1,且a,b的夹角为120.问x为何值时,|a-xb|值最小?并求此时b与a-xb的夹角?ba0120ABHO解2：作出符合条件的向量找到向量axbab，分析：[例3]练习1解析方法一a＋tb＝－12＋t，32＋3t，∴|a＋tb|2＝－12＋t2＋32＋3t2＝4t2＋2t＋1＝4t＋142＋34，∴当t＝－14时，|a＋tb|2取得最小值34，即|a＋tb|取得最小值32.已知a＝－12，32，b＝(1，3)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值等于()A．1B．32C．12D．22B组专项能力提升已知a＝－12，32，b＝(1，3)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值等于()A．1B．32C．12D．22解析方法二如图所示，OA→＝a，OB→＝b，在OB上任取一点T，使得OT→＝－tb(t0)，则|a＋tb|＝|TA→|，显然，当AT⊥OB时，取最小值．由TA→·OB→＝(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝0，得t＝－14，∴当t＝－14时，|a＋tb|取得最小值32.B练习1【1】►(2011·新课标全国)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，π；p3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3；p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π.其中的真命题是()．A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4解析由|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ＞1，得2＋2cosθ＞1，∴cosθ＞－12，∴0≤θ＜2π3.由|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝2－2cosθ＞1，得2－2cosθ＞1，∴cosθ＜12，∴π3＜θ＜π.∴p1，p4正确．答案A【2】►(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.2－1B．1C.2D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.故选B.答案B【训练3】(2011·全国)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()．A.2B.3C.5D.7解析依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×－12＝3，则|a＋2b|＝3，故选B.答案B【4】►(2011·湖北)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()．A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝2a＋b·a－b|2a＋b|·|a－b|＝932×3＝22，故夹角为π4，选C.答案C本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算．【练5】(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故选D.答案D1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等。4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。概念y=sinx公式图象变换综合应用y=cosxy=tanx任意角弧度制三角函数线三角函数定义三角函数复习要抓住的两条主线1、函数概念学习及公式变换2、函数图象、变换及性质应用三角恒等变换函数图象性质任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象xAysin已知三角函数值，求角二、三角函数知识网络结构的值。求且）若（的值域；的值及函数）求（为正三角形轴的交点，且为图像与、的最高点，为图像如图所示，在一个周期内的图像函数fxfABCxCBAxx,32,310,53821.002()6cos3cos3(0)2xfxx0(1)fx（2012年四川理科18题）【练习1】►(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0,0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上，所以sinπ3＋φ＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)，如图，过Q作X轴的垂线，垂足为M.在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，∠MRQ＝300在△MRQ中解得A＝3.注意：也可以由图像的对称性得RM=3，Q(4，-A)M练习2)已知函数y=sin(πx+φ)(φ＞0)的部分图像如图所示，设P是图像的最高点，A,B是图像与x轴的交点，则tan∠APB=()（和差公式，图像与性质的综合）(A)10(B)8(C)(D)8747【解析】选B.作PH⊥AB于H，依题意得，又|PH|=1，设∠APH=α,∠HPB=β,∴tan∠APB=tan(α+β)=13ABT2AHHB,22，AH1HB3tantan,PH2PH2，tantan8.1tantan例2[2011·全国卷]设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9C【解析】将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则π3＝2πωk，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.【点评】本题考查三角函数图象的平移变换，理解函数图象平移变换的原理是解题的关键．若图象向右平移π3个单位，则应给自变量减π3；若图象向左平移π3个单位，则应给自变量加π3.特别强调的是此处是给x作加减，而不是给ωx作加减．【例3】►(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()．A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)解析因为当x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以f