1-5伯努利概型

第一章随机事件及其概率第5讲伯努利概型一试验的独立性利用事件的独立性可以定义两个或多个试验的独立性.定义设有两个试验E1和E2，假如试验E1的任一结果(事件)与试验E2的任一结果(事件)都相互独立，则称试验E1和E2相互独立(independent).类似地可以定义n个试验E1,E2,…,En的相互独立性：如果试验E1的任一结果，试验E2的任一结果，…，试验En的任一结果都是相互独立的n个事件，则称试验E1,E2,…,En相互独立.二伯努利试验(Bernoullitrials)在许多问题中，我们对试验感兴趣的是某一类结果(事件A)是否出现．例如产品抽样检查中关注的是抽到废品还是正品；抛掷硬币时关注的是出现正面还是出现反面；电视节目收视率的调查中调查对象是否观看了节目.在这类问题中，一次试验只有两个结果:A或者𝑨,这类试验称为伯努利试验.在伯努利试验中，记P(A)p,P(𝑨)q1p.其中：p0,q0,pq1.将某伯努利试验E重复进行n次独立试验，称为n重伯努利试验.n重伯努利试验的样本点可以记作(1,2,…,n)其中i或者为A,或者为𝑨,这样的共有2n个.这2n个样本点组成了样本空间.n重伯努利试验(A,A,A),(A,A,A),(A,A,A),(A,A,A),(A,A,A),(A,A,A).设样本点(1,2,…,n)中有k个A，nk个𝑨.由独立性知P()pkqnk.每个样本点的概率可由上式得到，因而任何事件的概率都可计算出来.例如：三重伯努利试验共有8个样本点:p1q2p2q1p1q2p2q1p1q2p3q0(A,A,A),(A,A,A),概率分别为p0q3p2q1定理设在伯努利试验中，事件发生的概率为p(0p1)，则在n重努利试验中,事件A恰好发生k次概率为P(k)Ckpkqnk，k0,1,2,…,nnn其中:q1p.n其中任何一个样本点的概率都是pkqnk.因而事件A发生k次的概率为P(k)Ckpkqnk，k0,1,2,…,nnn证明：显然事件A发生k次共包含Ck个样本点.(Binomialprobabilities)能证明这个公式吗?二项式公式(binomialformula)𝐶𝑛𝑘=2𝑛𝑛𝑘=0𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘1−𝑝𝑛−𝑘=1𝑛𝑘=0例袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解每取一个球看作是做了一次试验.5/3)(AP记取得白球为事件A，有放回地取4个球看作做了4重Bernoulli试验,记第i次取得白球为事件Ai感兴趣的问题为:4次试验中A发生2次的概率4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA.3456.05253)(2224CBP10101010kk6k6P(A)C0.8k0.210k0.97.P(k)=例对某种药物的疗效进行考察，设这种药物对某种疾病的有效率为p0.8，现有10名患此种疾病的患者同时服用该药，求至少有6名患者服药有效的概率.解:这是贝努利概型，n10，p0.8，记A至少有6名患者服药有效例甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？20.62C10.60.40.60.648解:（1）若采用三局两胜制，则下列两种情况下甲获胜A12:0甲胜前两局，A22:1前两局各胜一局，第三局甲胜.则P1(甲胜)P(A1ՍA2)P(A1)P(A2)P2(2)P2(1)0.6（2）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲获胜B13:0甲胜前三局，B23:1前三局甲胜二局，第四局甲胜.B33:2前四局甲乙各胜两局,第五局甲胜则P2(甲胜)P(B1B2B3)P(B1)P(B2)P(B3)P3(3)P3(2)0.6P4(2)0.6340.63C20.620.40.6C20.620.420.60.682结论：五局三胜制甲获胜的可能性大.小结伯努利概型有着广泛的应用，需要掌握其计算公式.下一讲我们将学习随机变量及其分布.