三对角行列式的计算

第9卷第2期2010年3月漯河职业技术学院学报JournalofLuoheVocationalTechnologyCollegeVo.l9No.2Mar.2010:2010-01-15:卢潮辉(1965-),男,广东揭阳人,揭阳职业技术学院讲师,主要从事代数学的研究do:i10.3969/.jissn.16717864.2010.02.023卢潮辉(揭阳职业技术学院数学与计算机科学系,广东揭阳522051):三对角行列式是一类特殊而常见的行列式,其计算灵活多样,本文给出三对角行列式的几种特殊的计算方法:三对角行列式;递推法;差分法;数学归纳法:O151.21:A:16717864(2010)02005103,,,[1-3]Dn=b1a2000c1b2a2000c2b300000bn-1an-1000cn-1bnn1DnDn,D1D2D3DnDn;,,DnDn-1,Dn-1Dn1nDn=ab000cab000ca00000ab000caDnDn=aDn-1-bcDn-2(n3)(1),x2-ax+bc=0,=a+a2-4bc2,=a-a2-4bc2+=a,=bc,(1),Dn-Dn-1=(Dn-1-Dn-2),Dn-Dn-1=2(Dn-2-Dn-3)==n-2(D2-D1)D1=,D2=abca=a2-bc,D2=D1=a2-bc-a=(+)2=-(+)=2Dn-Dn-1=n(2)Dn-Dn-1=n(3),24bc,(3)!-(2)!(-)Dn=n+1-n+1Dn=n+1-n+1-=a+a2-4bcn+1-a-a2-4bcn+1an+1a2-4bc=,a2=4bc,==a2,D1=a=2.(2)Dn=n+Dn-1=n+n-1+Dn-2)=2n+2Dn-2==(n-1)n+n+1D1=(n-1)n+n-1!2=(n+1)n=(n+1)a2nDn=a+a2-4bcn+1-a-a2-4bcn+12n+1a2-4bc,a24bc;(n+1)a2n,a2=4bc.2DnDn=pDn-1+qDn-2,,!!2-p!-q=0!1!2,Dn=C1!n1+C2!n2,(!1!2)Dn=C1n!n2(!1=!2),D1D2C1,C2,Dn3nDn=a+ba000ba+1a000ba+b00000a+ba000ba+bDn=(a+b)Dn-1-ba0000ba+ba000ba+b00000a+ba000ba+b(n-1)=(a+b)Dn-1=abDn-2(n3)Dn=(a+b)Dn-1=abDn-2(n3),p=a+b,q=-ab!2-p!-q=0!1=a,!2=bab,Dn=C1!n1+C2!n2=C1an+C2bnD1=a+b,D2=a2+ab+b2,a+b=C1a+C2ba2+ab+b2=C1a2+C2b2C1=aa-b,C2=ba-bDn=an+1-bn+1a-ba=b,!1=!2=a,Dn=C1!n1+C2n!n2=C1an+C2nan.D1,D2C1=C2=1,Dn=(n+1)anDn=an+1-bn-1a-b,ab(n+1)an,a=b3,:,,D1,D2,D3,,;,.4nDn=cos100012cos100012cos000002cos100012cosn=1,D1=cos=cosn=2,D2=cos112cos=2cos2=1=cos2n=3,D3=cos1012cos1012cos=4cos3-3cos=cos3:Dn=cosn:n=1,n,Dnn,Dn=(-1)2n2cosDn-1+(-1)2n-1cos100012cos000002cos1000001(n-1)=2cosDn-1-(-1)2n-1cos100012cos100012cos000002cos100012cos(n-1)=2cosDn-1-Dn-2=2coscos(n-1)-cos(n-2)=2coscos(n-1)-[cos(n-1)cos+sin(n-1)sin]=cos(n-1)cos-sin(n-1)sin=cosn:Dn=cosn4()()()52漯河职业技术学院学报2010年,.():(),;(),,5nDn=1-a1a2000-11-a2a3000-11-a3000001-an-1an000-11-an,Dn=1-a1a2000-1+01-a2a3000+0-11-a3000+0001-an-1an0+000-11-an=1a2000-11-a2a3000-11-a3000001-an-1an000-11-an+-a1a200001-a2a3000-11-a3000+0001-an-1an0+000-11-an1,Dn=1-a11-a2a300-1a300001-an-1an00-11-anDn=1-a1Dn-1n(n2),Dn=1-a1(1-a2Dn-2)=1-a1+a1a2(1-a3Dn-3)==1-a1+a1a2++(-1)n-1a1a2=an-1D1D1=|1-an|=1-an,Dn=1-a1+a1a2++(-1)na1a2a2=1+∀ni=1(-1)i#ij=1aj[][1]杨胜良.三对角行列式及其应用[J].工科数学,2002,18(2):102-104.[2]周照民.利用对称性和方程组解行列式一例[J].兰州石化职业技术学院学报,2001,1(1):91-93.[3]杨胜良.三对角行列式与Chebyshev多项式[J].大学数学,2006,22(6):125-129.[4]张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1999.[5]王萼芳.高等代数教程习题集[M].北京:清华大学出版社.2001.[6]张均本.高等代数习题课参考书[M].北京:高等教育出版社,2002.ThecalculationoftriangulaldeterminantLUChaohui(MathematicsandComputerScience,JieyangVocational&TechnicalCollege,Jieyang,522051,China)Abstract:Thetriangulaldeterminantisaspecialbutcommondeterminan,twhichiscalculatedflexible,thispapergivenseveralspecialcalculatingmethodsofi.tKeywords:triangulaldeterminan;trecursion;differencemethod;mathematicalinduction[]53第2期卢潮辉:三对角行列式的计算