计算流体力学第5章-跨声速小扰动势流混合差分方法概要

第五章时间推进法内容守恒形式欧拉方程非定常欧拉方程的特征线非定常欧拉方程显式差分多维流的时间分裂法非定常欧拉方程有限体积法无粘流计算的人工粘性加速收敛的方法及算例重点多维流的时间分裂法非定常欧拉方程有限体积法5-1守恒形式的非定常欧拉方程一、引言激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。非定常二维可压缩欧拉方程2()()000()0uvtxyuuupuvtxyxvvvpuvtxyypppuvauvtxytxy方程的性质方程是双曲型（对时间）跨音速区包含激波时间推进分法可以克服跨音速计算困难基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）全场统一用一种数值方法可以使用有限体积方法二、积分形式的守恒型非定常方程组只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物理守恒律。连续方程：动量方程：能量方程：令绝势流动能量方程为：()AvndAdt()AAvdpndAVnVdAt22()()()()22AAvvQpvndAeVndAedt2()()22vvvECTe()AEdEVndApvndAt三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D）或引入总焓，则222()()()0()()()()0()()()()0()()()()0[()][()][()]0uvwtxyzuuuuvuwtxyzvuvvpvwtxyzwuwvwpwtxyzEEpuEpvEpwtxyz0h0000()()()())0hphuhvhwtxyz根据连续方程改写为010DhpDtt0Eph四、守恒的欧拉方程组的缩写0zHyGxFtU其中，U,F,G,H是列向量通用形式EwvuU2()uuFuvuwEpu2()uuvGupvwEpv2()wwuHwvwpEpw可写成是向量矩阵形式HiGiFiWzyx0WtU则()vuVpiWvVpjwVpkEpv积分型的矢量矩阵表达式0dAnWUdt五、气体状态方程0xFtU(1)vprCTRTEuUupEpuuF)(2其中，引入完全气体状态方程方程组封闭可解例:一维流欧拉方程具体表达式muEmU2322123)1(mrrmEmrErmFxUUFxF令则F是复合函数321UUUU321FFFF111123222123333123FFFUUUFFFFAUUUUFFFUUU22232010(3)(3)(1)23(1)(1)2rmmrrrmEmEmrmrr令AUFxUAtU,00,,UUVABFAUGBVtxy方程可写为同理可写出二维欧拉方程的通用表达式vnumEnmU,,其中§5-2非定常欧拉方程的特征线（自学）5-3非定长欧拉方程的显式格式一、简单线性波动方程0txuau其解析解存在(,)ufxatconstxat(1)()()()1102nnnniiiiuuuuatx沿特征线上二、一阶精度显示差分txxtx=at+c0(1)()()()211[]()2nnnniiiituuuuOtxxat(1)()()()1112nnnniiiiuuuu（）截断误差（微分依赖区与差分依赖区重合）(1)()1nniiuu()()()11122nnniiiuuu（＋）精确平移条件：特征线上u不变一阶显示差分格式将不稳定，不能用i-1i特征线constxat22(1)()()()()()()311112()[]2()22()nnnnnnniiiiiiiatatuuuuuuuOtxx（＋）+()tax三、二阶精度的显示格式利用Taylor级数可构造二阶精度显示差分格式差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）CFLtaxCFL1令则有当CFL=1时，差分方程的依赖区与微分方程依赖区重合，得到的结果与精确解相同CFL(Courant-Friedrichs-Lowy)数(1)()()()11()nnnniiiiatuuuux(1)()(1)(1)(1)11{()}2nnnnniiiiiatuuuuux(1)()()()()11{[]2nnnnniiiiiatuuuuux()()()11[()]nnniiiatatuuuxx()()()1[()]}nnniiiatatuuuxx四、二阶精度显示两步差分校正：即具有二阶精度预估：xu()nxu(1)niuxu(1)()()()1()nnnniiiiatuuuux(1)()(1)(1)(1)11{()}2nnnnniiiiiatuuuuux二步格式的构造向后差分给出中间结果校正：用中间结果构造向前差分可以反过来，先向前再向后差分，即，具有一阶精度得到二阶精度预估：五、一维流欧拉方程组差分格式方程通用格式V、F表达式同前预估式V具有一阶精度校正式V具有二阶精度与其等价的微分方程为0xFtV(1)()()()1[]nnnniiiitUUFFx)]([21)1()1(1)1()()1(nininininiFFxtuuU06)(223ttxFxFtV稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。V其稳定性条件即auudtdx,auauauuMaxtx},,{auxt1或CFL！没有经过严格证明的结论六、二维流欧拉方程组方程通用形式其中U,F,G同前两步法格式:①预估①校正1)(xtau0yGxFtU(1)()()()()(),,,1,,,1[][]nnnnnnijijijijijijttuuFFGGxy]}[][{21)1(,)1(1,)1(,)(,1)1(,)(,)1(,njinjinjinjinjinjinjiGGytFFxtuuu以差分算子Lxy表示，则——MacCormark二阶精度差分格式分“七点式”“五点式”稳定性条件：或)(1)(nnUtLxyU}])11([1,1min{2122yxayvxuyvxut2122)11(1yxayvxut§5-4多维流的时间分裂法TimedepositionmethodofMulti-dimensionflow维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。Numberofdimensionsincreaseleadsthestabilitytimestepdecrease显示格式的计算率降低Efficiencyofexplicitschemedecrease用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维差分格式Twosteptimedecompositionmethodistodecomposecomputationintotwostep1()()()2,,,,11111()()()2222,,,,1,prediction()y1correction()2nnnnijijijijnnnnnijijijijijtUUGGytUUUGGy预估对差分校正1111222,,,1,1()(1)(1)(1)(1)2,,,1,,prediction()x1correction()2nnnnijijijijnnnnnijijijijijtUUFFxtUUUFFx（）预估对差分校正或记为1()()21()(1)2(1)()()()()()nnynnnnyULtUULxtUULxtLtU合计为依赖于x,y平面内的九个点，先对y求解，再对x求解，为消除x,y顺序影响，第二个时间步可先对x求解再对y求解。Itdependson9pointsinxyplane,firstlytosolveitforxthenforyinordertoeliminatedtheeffectonsequence,secondstepisforxfirstandthenfory.yx0在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长Todeterminetimestepindividualforxandy各方面均选取最大允许的值。Onbothdirection,thetimestepcanbemaximumvalue.举例：三角形翼型的流动。契形顶角Example：triangleairfoilAOA10,Angleofleadingedge()()2()()()()nxynyxLtLtUULtLt4.52,10M迎角2M4.5Take=consty方向分三区：近场、中场、远场Divide3zonesinydirection,near，middle，farfieldx取常数x估算x和y方向时间步长Calculatethetimestepsinxandydirection.,3,1.157xyxtayta时间步长：timestep:中间场：middle近场：near远场：farxytt12yxtt2yxtt1min{,}26xyxxtttta()(2)()yxyLtLtLt(2)(2)xyLtLt最大时步长各区的运算可规定为Thecomputationregularforeveryzone中间Maxtimestep近场nearmiddle(2)(4)(2)xyxLtLtLt4t4t(2)()()(2)()nnyxyULtLtLtU(2)()(2)(2)nnxyULtLtU(4)(2)()(2)()nnyxyULtLtLtU远场四步推时的运算可规定为)computation中Middlenearfar4stepsmatch(近near近(4)(2)(2)(2)nnxyULtLtU(4)(2)(2)(4)(2)nnxyxULtLtLtU中middle远12ⅹ32网格1次far