高中数学选修2-2复数的几何意义

13.1.2复数的几何意义[学习目标]1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.知识点一复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ→由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ→唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量OZ→，这是复数的另一种几何意义.2思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？(2)象限内的点与复数有何对应关系？答案(1)不是.(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.知识点二复数的模1.如图所示，向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*).(3)|||z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.思考复数的模的几何意义是什么？答案复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部.3题型一复数与复平面内的点例1在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.解复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)由题意，m2－2m－8＜0，m2＋3m－10＞0，∴2m4.(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)0，∴2m4或－5m－2.(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝25.反思与感悟复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.跟踪训练1实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.解(1)由m2－2m－150，得m－3或m5，所以当m－3或m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－52，所以当m＝1或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.题型二复数的模的几何意义例2设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.解(1)方法一|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组|z|≤2，|z|≥1.4不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.跟踪训练2若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为.答案2π解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋y－12，由|z－i|≤2知x2＋y－12≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.题型三复数的模及其应用例3已知复数z＝3＋ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a242，∴a27，∴a∈(－7，7).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：－7a7.反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题5实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.跟踪训练3已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.解令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.复数与函数的综合应用对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来.例4已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.分析题目中出现了f(z)与f(－z)的关系式，可由f(z)得到f(－z)的另一种关系式.要求复数z，只需设z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解.解设复数z＝a＋bi(a，b∈R).∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z.又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.即2－a2＋－b2＋a＋bi＝3＋5i.根据复数相等的充要条件，得2－a2＋－b2＋a＝3，b＝5，解得a＝－10，b＝5.∴复数z＝－10＋5i.61.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i答案C解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是.答案(－1,1)解析因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝－22＋12＝5.又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.4.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为.答案9解析∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解得m＝9.5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.解如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.72.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、选择题1.设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5，∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z在复平面上的对应点在第二象限.2.当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1).由23m1，得3m－20，m－10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为()A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i答案B解析∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB→对应的复数为－2＋i.4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.8∴复数z对应的轨迹是1个圆.5.若θ∈3π4，5π4，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵θ∈3π4，5π4，∴cosθ＋sinθ0，sinθ－cosθ0.∴选B.6.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－tanA)＋tanBi对应的