利用散点图判断两个变量之间的线性相关关系

变量之间的相关关系及两个变量的线性相关全州三中高数组文新红1．会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．基础梳理1．相关系数：相关系数是描述两个变量关系程度和方向的统计量，用r表示．相关系数的范围在－1到1之间，即－1≤r≤1，当r＝1为完全正相关即两者之间具有函数关系，r＝－1，为完全负相关即两者之间具有函数关系，r＝0为不相关，r的范围在0.3～0.5是低度正相关；r的范围在0.5～0.8是中度正相关；r的范围在0.8以上是高度正相关；只有显著相关以上才需要考察相关方程．r的计算不作要求．2．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．例如：某产品产量与生产费用关系如表，画出相应的散点图.序号12345678产品产量(千吨)x1.223.13.856.17.28生产费用(万元)y628680110115132135160解析：相应的散点图如下3．线性相关：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生大致均等的变动，两者之间叫做线性相关．相关关系与函数关系的相同点均是指两个变量的关系；不同点是：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．例如：人的身高和体重的关系是相关关系还是函数关系？相关关系4．最小二乘法：在求回归直线时，公式中选取的a，b使得误差yi－y∧i的平方和Q＝i＝1n(yi－bxi－a)2最小，也就是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法称为最小二乘法．值得指出的是，讨论变量是否线性相关，应先进行相关性检验，在确认线性相关后，再求回归直线．相关性检验的有关概念、方法和步骤，大纲不作考试要求．5．回归直线：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)大致分布在一条直线附近，则由b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2a^＝y－－b^x－，x－＝1ni＝1nxi，y－＝1ni＝1nyi所得到的直线方程y∧＝b^x＋a^叫做回归直线方程，b^是回归方程的斜率，a^是截距，相应的直线叫做回归直线．由回归直线方程算出的结果仅为预测，非必然结果．思考应用1．变量之间的相关关系与函数关系有何区别？解析：变量间的相互关系有两种，一种是函数关系，变量之间的对应是确定的；另一种是变量间确实存在着关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系带有随机性．相关关系分为两种：(1)正相关：两个变量具有相同的变化趋势．(2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势．2．如何利用散点图判断两个变量之间是否具备相关关系？解析：可根据散点图中对应点的离散程度来判断两个变量是否具有相关关系．如果散点图中变量的对应点分布在某条直线周围，我们就可以得出这两个变量具有相关关系，如果点的分布大致在左下角到右上角的区域，则为正相关，如果因变量随自变量的增大而减小，则是负相关．如果变量的对应点分布没有规律，我们就说这两个变量不具有相关关系．3．如何认识线性回归模型？解析：两个变量之间的相关性可以用一条直线或曲线来进行拟合．如果两个变量之间的依赖关系是近似一条直线，那么这两个变量就是线性相关的；如果两个变量之间的依赖关系是近似一条曲线，那么这两个变量就是非线性相关的；如果两个变量之间不存在明显的依赖关系，那么这两个变量就是不相关的．1．两个变量之间关系如下，回归直线一定经过点()A．(3,3)B．(4,4)C．(4,5)D．(5,5)x246y348C自测自评2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下3．对具有__________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．4．表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做_______．∧yC散点图相关关系利用散点图判断两个变量之间的线性相关关系下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？年平均气温(℃)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mn)748542507813574701432解析：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如下图所示．因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，如果用公式求得回归直线也是没有意义的．跟踪训练1．下列图形中，两个变量具有线性相关关系的是()解析：要求大致在一条直线上，但不是函数关系．答案：B了解回归直线方程的意义为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s，t，那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．l1和l2必定重合解析：设线性回归方程为y^＝bx＋a，而a＝y－bx，即a＝t－bs，t＝bs＋a.∴(s，t)在回归直线上．∴直线l1和l2一定有公共点(s，t)．答案：A跟踪训练2．若x,y具有相关关系，且得到的一组散点图大致分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指()A．经过散点图上两点的直线B．经过散点图上最多的点的直线C．与各个散点的偏差和绝对值最小的直线D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线D求回归直线方程下表是某医院用光电比色计检验尿汞时，得到的尿汞含量(毫克/升)与消光系数的一组数据：(1)依据这些数据画出散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程．解析：(1)散点图如下：(2)x－＝6，y－＝210.4，i＝15xiyi＝7790，i＝15x2i＝220，则b＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝7790－5×6×210.4220－5×62≈36.95，a＝y－－bx－＝210.4－36.95×6＝11.3，故所求回归直线方程为y∧＝36.95x＋11.3.跟踪训练3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．x35404550y56412811解析：(1)散点图如下图所示，并从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关．设回归直线为y^＝bx＋a，则由公式求得b≈－3，a＝161.5.∴y^＝－3x＋161.5；(2)依题意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845，∴当x＝251.56≈42时，P有最大值约为426.即预测销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．用回归分析看问题(用计算器完成计算)假设某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：(1)画出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)估计使用年限为9年时，维修费用是多少？x34567y11.52.83.24解析：(1)散点图如下图：(2)计算可得：x－＝5，y－＝2.5，i＝15xiyi＝70.2，i＝15x2i＝135，i＝15y2i＝37.33.由此可求得：b＝i＝15xiyi－5x－·y－i＝15x2i－5x－2＝70.2－5×5×2.5135－5×25＝0.77，a＝y－－bx－＝2.5－0.77×5＝－1.35.所以线性回归方程为y∧＝－1.35＋0.77x.(3)当x＝9时，应用线性回归方程可求得y＝5.58，即估计第9年后，此时维修费用约为5.58万元．跟踪训练4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)x3456y2.5344.5y^＝b^x＋a^；解析：(1)由题设所给数据，可得散点图(如下图)．(2)由对照数据，计算得：i＝14xiyi＝66.5，i＝14x2i＝32＋42＋52＋62＝86，x－＝4.5，y－＝3.5，则b∧＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7；a∧＝y－－b∧x－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故所求的回归方程为y∧＝0.7x＋0.35.(3)x＝100,y＝100×0.7＋0.35＝70.35吨，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨)．1．求解两个变量的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到这些量，也就不需要制表这一步，直接算出结果就行了．2．目前高考暂时不能使用计算器，因此考题数字一般不会太大，但是还是要多加训练．i＝1nxi，i＝1nyi，i＝1nxiyi，i＝1nx2i3．列表格式一般如下：祝您