一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构.

一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构第六章微分方程初步第五节二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构形如y+py+qy=f(x)的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，二阶常系数线性非齐次方程的解的结构1自由项f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.),(*xQxynk当原方程①中y项的系数q0时，k取0；当q=0，但p0时，k取1；当p=0，q=0时，k取2.①因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设①式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，例5求方程y-2y+y=x2的一个特解.解因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，,2*CBxAxy则,2*BAxy,2*Ay代入原方程后，有.)22()4(22xCBAxBAAx且y的系数q=10，取k=0.所以设特解为比较两端x同次幂的系数，有.022,04,1CBABAA解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为.642*xxy例6求方程y+y=x3–x+1的一个特解.解因为自由项f(x)=x3–x+1是一个x的三次多项式，).(*23DCxBxAxxy则,234*23DCxBxAxy,2612*2CBxAxy代入原方程后，有)2()26()312(423DCxCBxBAAx.13xx且y的系数q=0，p=10，取k=1.所以设方程的特解为比较两端x同次幂的系数：.12,126,0312,14DCCBBAA解得.4,25,1,41DCBA故所求特解为.4254123*xxxxy2自由项f(x)为Aeax型设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=Aeax，其中a，A均为常数.由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中B为待定常数，.e*xkBxya当a不是②式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；当a是其特征方程单根时，取k=1；当a是其特征方程重根时，取k=2.②因此，我们可以设②的特解例7求方程y+y+y=2e2x的通解.解a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，,e2*xBy则,e2*2xBy,e4*2xBy代入方程，得故原方程的特解为.e72*2xy所以，设特解为.B72例8求方程y+2y-3y=ex的特解.解a=1是特征方程r2+2r-3=0的单根，取k=1，,e*xBxy则,ee*xxBxBy,ee2*xxBxBy代入方程，得故原方程的特解为.e41*xxy所以，设特解为,41B3自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A，B均为常数.由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此,我们可以设③有特解③).sincos(e*xDxCxyxkwwa其中C，D为待定常数.取k=0，是根时，取k=1，代入③式，求得C及D.当a+wi不是③式所对应的齐次方程的特征方程的根时，例9求方程y+3y-y=excos2x的一个特解.解自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，),2sin2cos(e*xDxCyx则],2sin)2(2cos)2[(e*xCDxDCyx].2sin)34(2cos)34[(e*xDCxCDyx且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2+3r–1=0的根，取k=0，所以设特解为代入原方程，得.2cos2sin)10(2cos)10(xxCDxCD比较两端cos2x与sin2x的系数，得.010,110CDCD解此方程组，得.10110,1011DC故所求特解为.2sin101102cos1011e*xxyx例10求方程y+y=sinx的一个特解.解自由项f(x)=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a=0，w=1，).sincos(*xDxCxy则),sincos(sincos*xCxDxxDxCy).sincos(sin2cos2*xDxCxxCxDy代入原方程，得.sincos2sin2xxDxC且a+wi=i是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为比较两端sinx与cosx的系数，得.021DC，故原方程的特解为.cos21*xxy而对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为.sincoscos2121*xCxCxxYyy例11方程y+4y=x+1+sinx的通解.解自由项f(x)=x+1+sinx可以看成f1(x)=x+1和f2(x)=sinx之和，y+4y=x+1，y+4y=sinx.和④⑤方程④的特解易求得，,sin*2xAy设方程⑤的特解为,cos*2xAy.sin*2xAy,4141*1xy的特解.所以分别求方程代入⑤，得3Asinx=sinx..31A所以.sin31*2xy得原方程的特解.sin314141*2*1*xxyyy原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其通解为Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解为.2sin2cossin31414121*xCxCxxYyy三、应用举例例12弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移x0初速度v0，则物体便在其平衡位置附近上下振动.已知阻力与其速度成正比，O试求振动过程中位移x的变化规律.物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-kx–mv,其中a为加速度，,dd22txav为速度，,ddtxv解建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为x轴的正向，则物体位移x是时间t的函数x=x(t).根据牛顿第二定律F=ma，知负号表示阻力f2与速度v方向相反，其中m为比例系数大于0(或称阻尼系数)，阻力f2与速度v成正比，f2=mv,负号表示弹性恢复力与位移x方向相反；其中k为弹性系数大于0，由胡克定律知，f1=-kx，弹性恢复力f1与阻力f2，,22mkmnwm，记则上式方程可表示为.0dd2dd222xtxntxw称为振动的微分方程，是一个二阶常系数线性齐次方程，它的特征方程为r2+2nr+w2=0，其根为.222,1wnnr那么，上式变为.dddd22kxtxtxmm这里n，w为正常数，由题意列出初始条件,dd,|0000tttxxx于是，上述问题化为初值问题：.dd,|,0dd2dd0002220wttxxxxtxntxt下面分三种情况来讨论1大阻尼情形，即nw.,221wnnr这时,222wnnr是两个不相等的实根.所以方程的通解为.ee)(2)(12222tnntnnCCxww2临界阻尼情形，即n=w.这时，特征根r1=r2=-n，所以方程的通解为.e)(21nttCCx3小阻尼情形，即nw.这时，特征根为共轭复数,i22nnw所以方程的通解为).sincos(e222221tnCtnCxntww上式也可写成),sin(e0wtAxnt.arctan,,212221220CCCCAnww其中对于1，2情形，x(t)都不是振荡函数，且当t+时，x(t)0，即物体随时间t的增大而趋于平衡位置.对于3的情形，虽然物体的运动是振荡的，但它仍随时间t的增大而趋于平衡位置，总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由振动.