粒子物理与核物理实验中的数据分析-补充讲义-数学基础

粒子物理与核物理实验中的数据分析陈少敏清华大学补充讲义：数学基础：——向量微分2本讲要点向量微分定义标量函数对向量的梯度向量函数对向量的梯度向量微分常用公式举例3简介本课程很多问题涉及到向量微分。处理这些问题，可以按分量展开解决，但是直接进行向量微分会方便很多。函数对向量的微分形式与普通微分类似，只是微分后的结果是向量或者矩阵，不论被微分的函数本身是标量函数还是矢量函数(或者矩阵)本讲义以实函数为例行、列向量定义41212[,,...,][,,...,]TnTnxxxxxxxx行向量：列向量：5向量微分的定义(1)对列向量和行向量的微分（梯度）定义121,,,Tnnxxx列向相对于向量()的梯度算子记作，定义为量xxxx对列向量的梯度：对行向量的梯度：121,,,TTTTnnxxx相对于向量()的梯度算子记作，定义为行向量xxxx6标量函数对向量的梯度1212()()()()()(),,,()()()()()(),,,TTnTTnfnnfffffxxxfnfffffxxx所以，假设标量函数以维列向量为变元，其相对于的梯度是维，而相对于行向量的梯度是维，列向量行向量xxxxxxxxxxxxxxxxxxx()()iffix1)梯度的分量给出了在第个方向上的变化率。2)标量函数对列向量的微分结果为列向量标量函数对行向量的微分结果为行向量xx7举例12121212()()()(),,,2,2,,22()()()(),,,2,2,,22TnTnTnTnffffxxxxxxffffxxxxxx解：根据对列向量和行向量微分的定义，（列向量）（行向量）xxxxxxxxxxxx21()()()()nTiTifffx标量函数，求和xxxxxxx8推广到矩阵函数(1)12121111222212()(),(),,()()()(),,,()()(),,,()()()()(),,,mmmmnnnmfffnnmfffxxxfffxxxfffxxx维函数相对于维列向量的行向量梯度是一个矩阵，xfxxxxxxxxxxxfxfxxxxx9推广到矩阵函数(2)12111122221212()(),(),,()()()(),,,()()(),,,()()(),,,TTmTnnTmmmnmyyynmnyyyxxxyyyxxxyyyxxx维函数列向量相对于维行向量的梯度是一个矩阵，注：这正是矩阵xfxyxxxxxxJxxxacoxyxxxbiyx10再举例(1)121111222212()(),,,,1,0,,0,,,0,1,,0()0,0,,1,,,TnnTnnnnxxxxxxxxxxxxIxxxxxx(1)行向量函数求fxfxxxfxxxx11再举例(2)111122221212()(),,,,1,0,,0,,,0,1,,0()0,0,,1,,,TnnTTnnnnxxxxxxxxxxxxIxxxxxx(2)列向量函数求gxgxxxgxxxx12一些常用公式(1)(1),(2)(3)(!!!!)(4)TTTTTTTTTTTIInn若为维方矩阵，为维列向量，且都与无关：xxxxAyxAxxAA,A,xxxAyyAxxAyAy,=AyxxxxAxAx+Axx13一些常用公式(2)12122(1)()0[()()]()()(2)()()()()(3)()()()/()1()()(4)()()()(())()()(5)Tcfccfcgfgccfgfggffgfggfgff形式上，普通微分的一些法则都适用于向量微分,如x=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxyxyxxy14例子(Exercise1.8)1111111n(,...,)p.d.f.()(,...,),()p.d.f.()()det()()()TnTnniijjjTxxfyyAyAxAagfAAbAAAg假设维随机变量的联合为，变量是的线性变换，即。假设逆变换存在。证明的联合为。当是正交矩阵，即时，求。xxyxyxxyyyyy15续上111111111()(1.37),(,...,)(,...,),()()()det()det()det()()()()det()()det()nnTTTagaafxxJgfJfAJJAJAgfAJfAAbAAAAB解：根据公式很容易得到本题所求为，其中为Jacobian矩阵的行列式，即所以，得证。如果是正交矩阵，则。由yxyxyyyyyy1211det()det()det()det()1det()det()det()det()det()(det())det()det()1()()TTTTTABAAIAAAAAAAAAgfA，以及得到。所以，，即yy16续上1111222212121111111111()(),()()()()nnnnnniiijjjniikkknnnikkikikikkjkkkjjjxxxyyyxxxyyyJxxxyyyxxAyyxAyxyyAAAAyyy如果用分量方式，由于Jacobian行列式则要计算出，证明由显然可得ij。得证。但不如直接向量微分简洁。17参考资料1.《矩阵分析与应用》(2004)，张贤达，清华大学出版社(第5.1.2节）