数学必修2第四章知识点小结及典型习题

第四章圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：222rbyax，圆心ba,，半径为r圆的参数方程（还未学习，暂作了解）222cos0sinxarxaybrrybr，为参数222cos0sinxrxyrryr，为参数1、求标准方程的方法——关键是求出圆心ba,和半径r①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点2220xyrr过原点2222220xaybabab圆心在x轴上2220xayrr圆心在y轴上2220xybrr圆心在x轴上且过原点2220xayaa圆心在y轴上且过原点2220xybbb与x轴相切2220xaybbb与y轴相切2220xaybaa与两坐标轴都相切2220xaybaab（二）圆的一般方程：2222040xyDxEyFDEF1、圆的一般方程的特点：(1)①2x和2y的系数相同，且不等于0．②没有xy这样的二次项．(2)求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P例4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。2、220AxByCxyDxEyF表示圆方程，则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA3、常可用0422FED来求有关参数的范围。4、（1）当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122；（2）当0422FED时，表示一个点；（3）当0422FED时，方程不表示任何图形。例：若方程2222210xyaxayaa表示圆，则实数a的取值范是（）。A、203aB、20aC、223a或aD、223a（三）注意求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。三、点与圆的位置关系点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：1、判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2、涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCrminmaxPBNBBCrPBMBBCr,（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrAC、maxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）例：若点(1，1)在圆22()()4xaya的内部，则实数a的取值范围是（）。A.—1a1B.0a1C.a—1或a1D.a=±1四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：（一）直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：1、设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到直线l的距离为22BACBbAad，则有rd直线l与圆C相离；rd直线l与圆C相切；rd直线l与圆C相交；这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2、设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00,yx表示切点坐标，r表示半径。（二）直线与圆相切1、知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r2、常见题型——求过定点的切线方程（1）切线条数：点在圆外——3条；点在圆上——1条；点在圆内——无（2）求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点00,Pxy，圆：222xaybr，[22200xaybr]第一步：设切线l方程00yykxx第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ii）点在圆上1）若点00xy，在圆222xyr上，则切线方程为200xxyyr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点00xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200xaxaybybr碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数。如：1、过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程。（答案：3410xy和1x）2、经过点P(1，—2)点作圆22(1)(2)4xy的切线，则切线方程为3、经过点P(—4，—8)点作圆22(7)(8)9xy的切线，则切线方程为4、经过点P(1，—2)点且与圆22(1)(3)5xy相切的直线方程为（3）求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk（三）直线与圆相交1、求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——很常用弦长公式：222121212114lkxxkxxxx（暂作了解，无需掌握）2、判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.3、关于点的个数问题如：1、若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.答案：4,62、已知直线l：3x+4y－12=0与圆C：C：(x—3)2+(y—2)2=4.请选择适当的方法判断直线l与圆C的位置关系;若直线l与圆C相交，请求出直线l被圆C截得的弦长。解法1：（代数法）解法2：（几何法）总结：(1)代数法：设直线与圆的方程连立方程组，消元后所得一元二次方程为220axbxc，其两个不等实根为1x，2x.则其两点弦长为|AB|=||Δ12ak。(2)几何法；设直线l：Ax+By+C=0，圆C：222()()xaybr，圆心C(a，b)到直线l的距离d=22BACBbAa||，弦长|AB|=222dr。3、圆2244100xyxy的上点到直线x+y—14=0的最大距离和最小距离为和。最大距离和最小距离的差为五、圆与圆的位置关系：1、判定方法：常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1：(x—a1)2+(y—b1)2=r2，C2：(x—a2)2+(y—b2)2=R2(设Rr)当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连接圆心与切点或者连圆心与弦中点如：已知圆C1：222880xyxy和圆C2：224420xyxy，试判断圆和位置关系，若相交，试求出它们的交点坐标。2、两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.※两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例：已知圆C1：2220xyx和圆2C：2240xyy，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。3、圆系问题（1）过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）说明：①上述圆系不包括2C；②当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC※数学思想方法简介——方程思想与坐标法直线方程Ax+By+C=0与圆的方程222()()xaybr有三个方面的应用：（1）通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间的交点情况，从而判定直线与圆的之间位置关系，圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。（2）通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d=22BACBbAa\|，并比较d与半径r的大小解决圆与直线的有关性质问题。或圆心距与圆半径的和或差大小的比较，解决圆与圆之间的性质问题。(3)利用已知方程，任给一个坐标x的值，就可以求另一个坐标y的值解决实际问题专项练习：(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240xyy截得弦AB长为(2)已知一圆上的两点A(2，—3)、B(—2，—5)，且圆心C在直线x—2y—3=0上，求此圆C的方程.(3)求以点M(2，—1)为圆心且与直线3x—4y+5=0相切的圆M的方程.(4)求圆心在直线3x—y=0上，与x轴相切，且被直线x—y=0截得弦长为27的圆C的方程。(5)已知过点M(—3，—3)的直线l被圆C：224210xyx截得弦长为45，求直线l的方程。(6)求圆心在直线x—y—4=0上，并且经过圆22640xyx和圆226280xyy的交点的圆C方程。(7)求过点M(3，—1)，且与圆C：222650xyxy相切于N(1，2)的圆C方程.(8)求圆心在直线2x+y=0上，并且经过点A(2，—1)，与直线x+y=1相切的圆方程.(9)已知圆C与圆1C：2220xyx相外切，并且与直线l：x+3y=0相切于点P(3，—3)的圆C的方程.(10)已知以点P为圆心的圆经过点A(—1,0)和B(3，4)，线段的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=410.(1)求直线CD的方程。(2)求圆P的方程。(11)一条光线从点A(—2，3)射出，经x轴反射后，与圆22(3)(2)1xy相切，求反射后的光线所在直线的方程。(12)一条光线从点A(—1，1)射出，经x轴反射后，照射到圆C：22(3)(2)1xy的一点上，求这条光线由A点入射、反射到圆上的最短路程。六、空间直角坐标系：1