2017-2018学年福建省厦门外国语学校高一(下)期中数学试卷

第1页（共23页）2017-2018学年福建省厦门外国语学校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin（﹣π）的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣1B．﹣3C．0D．24．（5分）若方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．R5．（5分）函数的定义域为（）A．B．C．D．6．（5分）已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）第2页（共23页）A．3B．1C．2D．8．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝3，AB＝4，AC＝5，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．17πB．25πC．34πD．50π9．（5分）直线与圆x2+y2＝a2+（a﹣1）2相交于点A，B，点O是坐标原点，若△AOB是正三角形，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．10．（5分）点M（x，y）在函数y＝﹣2x+8的图象上，当x∈[2，5]时，的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[0，]C．[﹣，]D．[2，4]11．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上第3页（共23页）B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为．14．（5分）设光线从点A（﹣2，2）出发，经过x轴反射后经过点B（0，1），则光线与x轴的交点坐标为．15．（5分）三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是．16．（5分）从原点引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2＝m2+1的切线y＝kx，当m的值变化时，切点P的轨迹方程是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）已知：sinθ＝﹣，求tanθ的值；（Ⅱ）已知：tanθ＝2，求的值．18．（10分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且EA＝2FD．（Ⅰ）求证：CB⊥平面ABE；（Ⅱ）连接AC，BD交于点O，取EC中点G．证明：FG∥平面ABCD；（Ⅲ）若EA＝AB，求异面直线FC，BD所成的角的正弦值．19．（12分）已知直线过点（1，0）．（Ⅰ）若直线与直线l1：y＝3x+1平行，求直线的方程并求与间的距离；（Ⅱ）若直线被两平行线2x﹣y+1＝0和2x﹣y﹣1＝0所截得的线段长为2，求直线的方程．第4页（共23页）20．（12分）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB＝AG＝1，GD＝CD＝2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP＝2PC．现沿GC折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．21．（12分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．22．（14分）已知圆M：x2+（y﹣4）2＝4，点P是直线l：x﹣2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．第5页（共23页）2017-2018学年福建省厦门外国语学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin（﹣π）的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：sin（﹣π）＝﹣sinπ＝﹣sin（4π﹣π）＝sinπ＝．故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．3．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣1B．﹣3C．0D．2第6页（共23页）【分析】首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k＝＝y+2又因为直线的倾斜角为，所以k＝﹣1，所以y＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．4．（5分）若方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．R【分析】由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0配方可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得即可．【解答】解：由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【点评】思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．5．（5分）函数的定义域为（）A．B．C．D．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2sin（π﹣2x）﹣1≥0，即sin2x≥，第7页（共23页）则2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，则kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的定义域为，故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据根式函数以及三角函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【分析】由已知中正△ABC的边长为2，可得正△ABC的面积，进而根据△ABC的直观图△A′B′C′的面积S′＝S，可得答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为2，故正△ABC的面积S＝＝设△ABC的直观图△A′B′C′的面积为S′则S′＝S＝•＝故选：D．【点评】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S′与原图面积S之间的关系S′＝S，是解答的关键．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）A．3B．1C．2D．第8页（共23页）【分析】如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC＝4．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC＝4．∴该几何体的体积为＝﹣•x，解得x＝2．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝3，AB＝4，AC＝5，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．17πB．25πC．34πD．50π【分析】由题意，PC为球O的直径，球O的半径R＝，由此能求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝＝，∴球O的半径R＝＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝＝34π．故选：C．【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新定义、球等基础知识，考查第9页（共23页）运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（5分）直线与圆x2+y2＝a2+（a﹣1）2相交于点A，B，点O是坐标原点，若△AOB是正三角形，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线的距离为圆x2+y2＝a2+（a﹣1）2半径的倍，再利用点到直线的距离公式解得a的值．【解答】解：根据题意，直线的斜率k＝﹣1，圆x2+y2＝a2+（a﹣1）2的半径为，若△AOB是正三角形，则圆心（0，0）到直线的距离为圆x2+y2＝a2+（a﹣1）2半径的倍，则有＝×，解可得：a＝；故选：C．【点评】本题考查直线和圆方程的应用，涉及直线与圆相切的性质以及点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．（5分）点M（x，y）在函数y＝﹣2x+8的图象上，当x∈[2，5]时，的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[0，]C．[﹣，]D．[2，4]【分析】函数y＝﹣2x+8为减函数，当x属于[2，3]时，连续，当x＝2时，y＝4，当y＝5时，y＝﹣2，由此能求出的取值范围．【解答】解：函数y＝﹣2x+8为减函数，当x属于[2，5]时，连续，当x＝2时，y＝4，当y＝5时，y＝﹣2，∴当x＝2时，＝，当x＝5时，＝﹣，第10页（共23页）∴的取值范围为：[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ