第六章-无限长IIR数字滤波器的设计.ppt

§6-1引言一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通。其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。00低通0高通带通00带阻全通二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应3、群延迟dedejj)()(它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。四、DF设计内容1、按任务要求确定Filter的性能指标；2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。五、IIR数字filter的设计方法1、借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的；（3）将（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。2、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系统函数的系数。)s(Ha)()(zHsHa§6-2将DF的技术指标转换为ALF的技术指标一、意义AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般转换方法1、2、3、4、ALFDLFALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF三、转换举例例如，一低通DF的指标：在的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在的阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；试将这一指标转换成ALF的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有假定处幅度频响的归一化值为1，即这样，上面两式变为由于，所以当没有混叠时，根据关系式模拟filter的指标为6-3ALF的设计ALF的设计就是求出filter的系统函数Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。一、由幅度平方函数确定系统函数1、幅度平方函数由于所以其中，是AF的系统函数，是AF的频响，是AF的幅频特性。2、Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点（1）如果S1是Ha（S）的极点，那麽-S1就是Ha（-S）的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽-S0就是Ha（-S）的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈象限对称的,例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；（4）由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。3、由确定的方法（1）求（2）分解得到各零极点，将左半面的极点归于，对称的零点任一半归。若要求最小相位延时，左半面的零点归（全部零极点位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。例6-1由确定系统函数。解：所以，极点为零点为均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点为的零极点，这样由，可确定出，所以。因此因二、巴特沃斯低通滤波器1、幅度平方函数其中，N为整数，是filter的阶数；为3dB截止频率。当时，则即dBjHca3lg20（1）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管N为多少，都通过点。)3(2/1dB2、幅频特性1.00N=2N=4N=83、巴特沃斯filter的系统函数由于所以其零点全部在处；即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为），共有2N点。例如，N=2时，N=3时，461221kjckeS取左半平面的极点为的极点，这样极点仅有N个，即其中，常数由的低频特性决定。则23j21eS34j3[例6-2]导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设s/rad1C解：所以)1(6622111/1)()(jjjHA其极点为因此有取前三个极点，则有,1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a4、归一化的系统函数如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃斯filter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221(jCkeSN,,2,1k)21221(10,,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。三、归一化原型filter的设计数据不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式例如，归一化巴特沃斯原型filter的系统函数（这里的S即）为当,增益为1，则有，N=1—9阶的各个系数，如表6.2.1，P157所示。*由归一化系统函数得，只需将S代入即可。SN2210anSSaSa1d)S(H01ad00)S(Han)S(HaC/S0a/10/10221()101()10psapNcaNsc式中，S`k为归一化极点，令S`=P，用下式表示：将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：121()22,0,1,,1kjNkpekN(6.2.12)将Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14)(6.2.15))21221(10,,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH(6.2.11)由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak,则N由下式表示：lglgspspkN(6.2.16)用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs由(6.2.15)式得到：(6.2.17)(6.2.18)总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。四、设计举例（巴特沃斯filter）1、技术指标2、计算所需的阶数及3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得1)102j(Hlg203a15)103j(Hlg203aC])(1/[1)j(HN2C2a])(1lg[10)j(Hlg20N2Ca1])102(1lg[10N2C315])103(1lg[10N2C3解上述两式得：1.0N2C310)102(15.1N2C310)103(1因此，3C1004743.7,8858.5N取N=6，则3C100321.73、的求得查P157，表6.2.1，可得N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯LF的系统函数为3456anS1416202.9S4641016.7S8637033.3S/(1)S(H)1S8637033.3S4641016.72)1S4142135.1S)(1S51763809.0S/[(122)]1S931851652.1S(2)(sHa将S用代入，可得为:3C100321.7/SS)S(Ha)104504.49S1064003.3S/[101.120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475.9S(632632表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数例6.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN(2)按照(6.2.12)式，其极点为3455016523754,,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式，归一化传输函数为401()()akkHppp上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-.8090±j0.5878;-1.00005432432101()aHppbpbpbpbpb式中b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads将Ωc代入(6.2.18)式，得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsb4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：1(6.2.41)1()()HjGj(6.2.40)图6.2.9低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p；②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得例6.2.3设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。()()cpsHsGp(6.2.42)解：①高通技术要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB归一化频率②低通技术要求：11,23,15psspsdBdB③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1()221psspssppspspkkNNGpppp④求模拟高通H(s)：2)低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特