专题：解析几何中的动点轨迹问题

苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第1页共21页专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心周坤轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧...Part1几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，(0)APPB，求点P的轨迹。00PxyAaBb解：设，，，，，，011101aaxxybby，2225ab代入222221125yx222221252511xy222514Pxy当时，点的轨迹是圆；①1Py当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②01Px当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；例2已知定点A(3,1),动点B在圆O224xy上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第2页共21页113PxyBxyABBP解：设，，，，有1133131313xxyy11332312xxyy化简即：22114xy代入223331422xy得所以点P的轨迹为22116139xy二、两条动直线的交点问题例3已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线:lyx，设长为2的线段AB在l上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程11MxyAttBtt解：设，，，，，，1313PMxyPAtt，，，，131113QMxyQBtt，，，，////PMPAQMQB，，1313123xttyxtty34222xytxyxtxy32242xyxxyxy苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第3页共21页32422xyxyxyx228yx例4已知12AA、是双曲线22221(0,0)xyabab的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线1MA与2NA的交点P的轨迹11111200PxyMxyNxyAaAa解：设，，，，，，，，，，1122APAMAPANkkkk1111yyxaxayyxaxa1111yyyyxaxaxaxa22122221yyxaxa2211221xyab22221112221yxxabaa2212221ybxaa22222ybxaa222222aybxab2222010xyabxxab当时，是焦点在轴上的椭圆,；2220abxya当时，是圆；苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第4页共21页2222010xybayxab当时，是焦点在轴上的椭圆,；三、动圆圆心轨迹问题例5已知动圆M与定圆2216xy相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹0Mxyy解：设，，224Mxyy当圆与定圆内切时，，224Mxyy当圆与定圆内切时，224xyy222168xyyy2816yxM的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点)2211202088yxyyxy或例6已知圆221:(3)4Cxy，222:(3)100Cxy，圆M与圆1C和圆2C都相切，求动圆圆心M的轨迹11113,0,3,0,6,CCCC解：,Mr设动圆的半径为12(1),,MCC若圆与外切与内切则122,10MCrMCr121112,MCMCCC12MCC的轨迹是以、为焦点的椭圆，2126263aacc，，，，22227bac，2213627xy椭圆的方程为苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第5页共21页12,MCC(2)若圆与、都内切则12210MCrMCr12118MCMCCC12MCC的轨迹是以、为焦点的椭圆2222842637aaccbac，，，，，221167xy椭圆的方程为四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7已知双曲线过(3,0)A和(3,0)B，它的一个焦点是1(0,4)F，求它的另一个焦点2F的轨迹2Fxy解：设，，2121AFAFBFBF由双曲线定义，2222113004530045AFBF，，2255AFBF若，222255AFBFAFBF，，204Fxy的轨迹是直线（）2255AFBF若，22106AFBFAB，2FAB的轨迹是以、为焦点的椭圆，210,5,26,3,4,aaccb22142516xyy椭圆方程为（）22204142516xyFxyy的轨迹是直线（）或椭圆（）例8已知圆的方程为224xy，动抛物线过点(1,0)A和(1,0)B，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第6页共21页FxylM解：设焦点，，准线与圆相切于，1111AAlABBlB作于，于，1124AFBFAABBOM，FAB的轨迹是以、为焦点的椭圆，2422213acABacb，，，，，221043xyFy轨迹的方程是Part2求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。例1已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MN⊥L于N，由｜MA｜＋｜MN｜＝4，得4|3|22)1(xyx当x≧3时上式化简为y2=－12(x-4)当x≦3时上式化简为y2=4x所以点M的轨迹方程为y2=－12(x-4)(3≦x≦4)和y2=4x(0≦x≦3).其轨迹是两条抛物线弧。例2已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有MQMN，即MQONMO22，OYxNMA苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第7页共21页2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．二、定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现．例3在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？解因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线125102700225102yx上．例4若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________________解设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122xy例5一动圆与两圆122yx和012822xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆解设动圆圆心为M，半径为r，则有1,2MOrMCr所以1MCMO动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第8页共21页三、转移法（重中之重）若轨迹点P（x,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0,y0），则可先列出关于x、y,x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。例6已知P是以F1、F2为焦点的双曲线192162yx上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。解设重心G（x,y）,点P（x0,y0），因为F1（-5，0），F2（5，0）则有,30035500yyxx，故yyxx3030代入19201620yx得所求轨迹方程121629yx（y≠0）例7已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，∴.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，∴.1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．苏州分公司金阊校区数学组XueDaPersonalizedEducationDevelopmentCenter第9页共21页四、点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2等关系式，由于弦AB的中点P（x,y）的坐标满足2x=x1+x2,2y=y1+y2且直线AB的斜率为1212xxyy，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。例8已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点