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时域有限差分(FDTD)第四周时域有限差分(FDTD)一、FDTD研究的背景和意义二、FDTD研究历史和现状三、FDTD的主要应用和技术四、FDTD算法介绍（主要）一、FDTD研究的背景和意义随着当代半导体制作工艺的发展,电子设备越来越趋向于小型化和复杂化,其工作环境也日益复杂,同时电磁环境效应问题变得也越来越重要。虽然在应用电磁数值仿真技术方面做了很多研究,但是实际应用的数值方法仍存有挑战性,特别是如何使用和如何发展现有的电磁场数值技术以适应电大尺寸和多尺度问题仿真。二、FDTD研究历史和现状19“年,K.5.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(FiniteDifferenee一TimeDomain,简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。（具体发展过程略）上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段,即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一,是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法,它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似,从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。FDTD研究历史和现状原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题,并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。三、FDTD的主要应用FDTD应用天线——阻抗、辐射、效率、匹配由蜂窝电话，寻呼机，无线局域网引起的生物电磁效应——SAR核磁共振成像设计FCC认可的医疗植入通讯服务（MICS）微波电路、波导、光纤、S参数电磁兼容（EMC）和电磁干扰（EMI）、屏蔽、耦合三、FDTD的主要应用散射，雷达辐射截面RCS传播光学地质学和逆散射特殊的材料，包括非线性、色散、负指数和各向异性材料等离子体（耗尽和重新注入）雷电、电磁脉冲FDTD的优势简单：不涉及格林函数、矩阵、渐近函数和基函数一次计算既可得到宽频带的仿真结果材料类型广泛：电介质和磁介质，色散材料，非线性和各向异性材料普通的几何结构（不是由结构外形指定计算机内存）因此适合分析电大尺寸问题非常适合并行处理多CPU并行计算并行（MPI）FDTD的缺点高Q值、强谐振结构、窄带问题矩量法无需计算自由空间的场值（使用自由空间格林函数），因此更适合解决有少量导体的问题（例如小天线）在低频，FDTD的时间步长可能远小于正弦波的周期，因此需要的时间步长很多。我们已经想方设法让XFdtd更加有效地处理这些问题，然而，我们也可以选择有限元法来计算低频段电小尺寸问题FDTD方法介绍■直接从时域求解麦克思维方程■把几何结构划分成网格空间■网格尺寸远小于波长■网格尺寸远小于物体轮廓■随时间逐步迭代FDTD方法介绍通常情况下，FDTD方法是把Maxwell方程式在时间和空间领域上进行差分化。利用蛙跳式(Leapfrogalgorithm)--空间领域内的电场和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电磁场的变化，达到数值计算的目的。用该方法分析问题的时候要考虑研究对象的几何参数，材料参数，计算精度，计算复杂度，计算稳定性等多方面的问题。其优点是能够直接模拟场的分布，精度比较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。FDTD方法介绍原理：FDTD方法就是对空间的电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E(或H)有四个H（或E）场分量环绕，应用这种方式将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进的求解空间电磁场。FDTD方法介绍FDTD具有以下基本要素：差分格式、数值特性和吸收边界条件。其计算过程如下：差分格式对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分格式为：式中，i,j,k分别为x，y，z，方向的网格编号。差分格式首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成多个网格单元，其中x,y,z分别表示在x、y、z坐标方向的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设f(i,j,k)代表电场或磁场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为f(i,j,k)=f(ix,jy,kz)=(i,j,k)差分格式Yee网格如图2.2所示，主要表示的是电场和磁场在空间各节点的排布。由图可以看出每个电场的分量周围有四个磁场分量，相应的每个磁场分量周围也有四个电场分量。这种空间的设置方式能够实现空间坐标的差分计算，并且考虑到电磁场在空间互相正交、铰链的关系，也满足了Maxwell方程的积分形式，能够很好地模拟电磁场传播过程。差分格式差分格式差分格式差分格式由此可以看出该算法的特点是：在每一个网格点上，各场的分量新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值和该点周围邻近点上另外一场量的场分量早1/2个时间步长时刻的值。因此任一时刻可依次计算出一个点，并行算法可以计算多个点。这一关系构成了FDTD方法的基本迭代步骤。通过这些运算可以交替算出电场与磁场在各个时间步的值数值色散和解的稳定性由于FDTD方程只是原Maxwell旋度方程的一种近似，在计算中存在误差。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的，这种代替才有意义。收敛性是指当离散间隔趋于零时，差分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。稳定性是指寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格解的差为有界。数值色散和解的稳定性数值色散在采用差分方程来近似微分方程时，即使是在非色散媒质中，在FDTD计算的过程中也会出现色散现象，而且波的相速度会随着波长、方向、空间步长的不同而发生变化。将这种非物理的色散现象称为数值色散，它将会影响计算精度。分析数值色散问题的方法是把单色平面波的一般形式代入差分方程中，从而推导出频率与时间、空间步长之间的关系，也就是数值色散关系。均匀无耗各向同性媒质中，空间的差分方程数值色散关系为数值色散和解的稳定性与数字色散关系相对应，无耗介质中的平面波，其色散关系解析式为说明只要时间和空间步长足够小，数值色散就可以减小到任意的程度，但是这也带来一些弊端，如大大增加了计算机存贮空间、CPU时间和累积误差。因此，应根据问题的具体性质和实际条件来选取适当的时间和空间步长。数值色散和解的稳定性选取步长一般需要满足以下表达式其中指的是指计算频带内整个计算空间各种媒质中的最小波长。实际证明在中等网格大小为0.1时，数值色散引起的误差就已经很小了。解的稳定性满足一定关系的时间步长与空间步长在FDTD中它们并不是相互独立的，在取值时必须避免数值结果的不稳定。这种不稳定性主要表现在：在解差分方程时，时间步数的继续增加，会引起计算结果无限地增加。解的稳定性其中式(2-13)表示了空间和时间离散间隔之间应当满足的关系，即Courant稳定性条件。Courant稳定性条件是：FDTD的算法和迭代式决定了在一个时间步长内，某场分量最远只能传播一个空间步长的距离，其最大速度由此可以确定。这表明对于三维情况，时间间隔必须小于波通过Yee元胞对角线长度的三分之一所需要的时间；对于二维情况，时间间隔必须小于波通过Yee元胞对角线长度的二分之一所需要的时间。对于一个给定的初值问题，与它相容的差分方程的收敛性与稳定性是互为充要条件的。吸收边界条件基于时域有限差分法原理对通信车体进行划分时，由于计算机容量有限，所以需要用边界条件将问题空间截断，实现在有限区域内进行FDTD的计算。为了使网格截断处不会引起波的明显反射，在截断边界处必须给出吸收边界条件。最开始采用的是差值边界，后来采用的是Mur吸收边界，最近几年采用的是完全匹配层吸收边界。随着科学和技术的发展，吸收效果越来越好。目前好多种吸收边条件都已经被提出来了。一般吸收边界应满足以下条件：便于执行；计算精度够满足大多数的工程需求；通用性强；数值稳定。吸收边界条件目前构造吸收边界条件主要有两种思路：一种是从电磁波方程出发构造透射边界条件，最常用的是Mur吸收边界和廖氏吸收边界；另一种是在边界上吸收材料建立的吸收边界，例如完全匹配层(PML)，电磁波在无反射地进入吸收材料后，一般会被哀减掉的。其中Mur吸收边界具有构造简单、内存需求小、大多数情况下不额外消耗内存、吸收效率高等特点，但是在一阶近Yee网格划分时角区域存在的误差较大，而二阶编程相对来说较复杂，对于三维结果发散的现象有可能会出现；相对于Mur，完全匹配层(PML)构造复杂、内存需求较大，但是其可以吸收任意入射角、频率、偏振态的入射电磁波，实用性比较强，在入射角度上吸收效果较好。同时具有高的计算精度且无论以何种角度入射均无反射。