FDTD基础

1研究背景近年来，微波和毫米波通信、航空航天、雷达、精确制导等民用军用系统朝着高频化、微型化、多功能、高可靠性以及低成本方向发展。由于色散、不连续性和封装而产生的失真与时延，以及由于耦合而产生的串音噪声等问题变得十分严重，传统的准静设计方法已不能满足设计要求，必须采用精确的电磁场全波分析方法。电磁分析的本质是求解MaxwellEquation在特定初始条件特定边界条件下边界的复杂，导致传统的解析分析方法无法胜任2计算电磁学的应用领域3电磁场全波分析方法分类基于微分方程模型的分析方法时域有限差分FDTD–FiniteDifferenceTimeDomain频域有限差分FDFD–FiniteDifferenceFrequencyDomain有限元FEM–FiniteElementMethod基于积分方程模型的分析方法矩量法MoM–MethodofMoment基于矩量法的快速算法43-DMaxwell’sEquations(Faraday’slaw)(Ampere’slaw)/HDtJ/mEBtJDEBHmmJEJH各向同性介质中的本构关系为：5时域有限差分法（Finite‐DifferenceTime‐Domain,FDTD）是对时域Maxwell方程进行差分离散的方式，是电磁场计算领域的一种常用方法。FDTD由K.S.Yee在1966年在其论文中提出，其模型基础就是电动力学中最基本的麦克斯韦方程（Maxwell'sequation）。在FDTD方法提出之后，随着计算技术，特别是电子计算机技术的发展，FDTD方法得到了长足的发展，在电磁学，电子学，光学等领域都得到了广泛的应用。K.S.Yee.NumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell'sequationsinisotropicmedia.IEEETrans.AntennasPropagat.14:302‐307,1966FDTD简介6葛德彪,闫玉波.电磁波时域有限差分方法(研究生教学用书).西安电子科技大学出版社,版本:第2版,西安电子科技大学出版社.2005王秉中.计算电磁学.科学出版社.2005盛新庆.计算电磁学要论（第2版）.中国科学技术大学出版社20087tEEzHyHxxyztEExHzHyyzxtEEyHxHzzxyyzxmxEEHHzytyzxmyHEEHxztyxzmzEEHHyxt旋度方程展开为六个标量场方程8BackwardDifferenceCentralDifferenceForwardDifference)(xfx0xxx0xx0xxfxxfxf)()()('000xxxfxfxf)()()('000xxxfxxfxf2)()()('000MathematicBasis9差分近似(,,)nfijk对关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似：112211(,,)(,,)(,,)2211(,,)(,,)(,,)2211(,,)(,,)(,,)22(,,)(,,)(,,)nnnxixnnnyjynnnzkznnntntfijkfijkfxyzxxfijkfijkfxyzyyfijkfijkfxyzzzfxyzfijkfijktttEEzHyHxxyztEExHzHyyzxtEEyHxHzzxy10直观存储空间仅仅与网格总数成正比同时获取时域信息和频域信息可一次获得宽频带的信息FDTD11FDTDFDTD法对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E（或H）场分量周围有四个H（或E）场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，用具有相同电参量的空间网格去模拟被研究对象，选取适当的场初始值和计算空间的边界条件，在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。12(i+1,j,k)(i,j+1,k)(i,j,k+1)(i+1,j+1,k)ExEyEzHxHyHzzyxYeecell(leapfrog)Alternativegrid!少了立方体中心点的网格信息13在Yee元胞结构上，6个场分量在Yee元胞的表面上进行离散，在空间上，各电场分量ExEyEz在Yee元胞的棱边中间离散；各磁场分量HxHyHz在Yee元胞表面的中间离散。在时间上，各电场分量分布在元胞棱边上，方向与棱边一致，属于整数网格线上，这样电场分量在整时刻离散；各磁场分量分布在元胞面的中间，其方向垂直元胞面，指向半网格位置，这样磁场分量在半时刻离散。(i+1,j,k)(i,j+1,k)(i,j,k+1)(i+1,j+1,k)ExEyEzHxHyHzzyx14场分量的空间编号，采用上面的场量空间离散定义，定义各方向上的Yee元胞棱边为整数n编号，棱边的中间位置为半整数n+1/2的自然编号。以Yee元胞的角点为整数网格点为参考点编号，如图中的各坐标方向最小的左下点为整数的(i,j,k)离散点，相对于参考编号点，相差多少网格，即相差几个编号，对于相差半个网格的场量位置，用1/2表示半个网格。如Ex分量，在x方向位于半个网格上，用1/2表示，而在y、z方向上位于整数网格上，用整数表示，即Ex(i+1/2,j,k)，其他电场分量也是类似编号；对于Hx分量，在x方向位于整网格线上，而在y、z方向上，位于半个网格上，即Hx(i,j+1/2,k+1/2)，其他磁场分量也是类似编号。(i+1,j,k)(i,j+1,k)(i,j,k+1)(i+1,j+1,k)ExEyEzHxHyHzzyx15Yee网格的特点Yee网格体系的特点是，E和H各分量在空间的取值点被交叉放置，使得在每个坐标平面上每个E分量由四个H分量环绕，同时每个H分量由四个E分量环绕。这样的电磁场空间分布符合电磁场的基本规律――法拉第电磁感应定律和安培环路定律的自然结构，即符合麦克斯韦方程的基本要求，能够恰当地描述电磁场的传播特性。为实现空间坐标的差分计算，并考虑导电磁场在空间相互正交和交链的关系，在Yee网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因而同一种场分量之间相隔一个空间步长：电场和磁场在时间顺序上相隔半个时间步长，这样，使麦克斯韦方程离散后可以构成显式差分方程，从而给出电磁问题的初始值后，可以在时间上迭代求解。16Hx对应Yee元胞表面上各场量分布示意173-DMaxwell’sequations(Faraday’slaw)(Ampere’slaw)/HDtJ/mEBtJDEBHmmJEJH各向同性介质中的本构关系为：18直角坐标系中的FDTD方程六个标量场方程tEEzHyHxxyztEExHzHyyzxtEEyHxHzzxyyzxmxEEHHzytyzxmyHEEHxztyxzmzEEHHyxt19yxzEHHyzt112211111,,,,2222nnzzHijkHijky112211111,,,,2222nnyyHijkHijkz111,,,,22nnxxEijkEijtkE公式推导举例(i+1,j,k)(i,j+1,k)(i,j,k+1)(i+1,j+1,k)ExEyEzHxHyHzzyx200yzxEEyzHt21,,21,1,1kjiEkjiEynznzkjiEkjiEznyny,21,1,21,1112021111,,,,2222nnxxHijktHijkH公式推导举例(i+1,j,k)(i,j+1,k)(i,j,k+1)(i+1,j+1,k)ExEyEzHxHyHzzyx21Eupdateequations1111212221(,,)211111111(,,)(,,)(,,)(,,)221(,,)2222222nxnnnnzzynyxEijtEijkHijkHijkHijkHkijkyz1112112221(,,)211111111(,,)(,,)(,,)(,,)222222(,,)2212nynynnnnxxzztEijkHijkHijkHijkHijkzExijk1111221221(,,)211111111(,,)(,,)(,,)(,,)222222221(,,)2nnznnnnyyxxztEijkHijkHijkHijkHijEijkxyk22Hupdateequations122111(,,)221111(,,1)(,,)(,111(,,),)(,,)222222nnxxnnnnyyzzHHijkEijkEijkEijkEijktzyijk112211(,,)221111(1,,)(,,)(,,1)(,,11(,,)22)2222nynnnnznzxxyHijkEijkEijkEiHjkEijitxzjkk112211(,,)2211(,,)21111(,1,)(,,)(1,,)(,,22)222nznnnyyzxnnxHijkEijkEijkEijkEijkHijktyx23FDTD在时域的逐步推进计算已知时刻空间各处的值计算时刻空间各处的值计算时刻空间各处的值满足所设的时间步数或所要求的精度退出迭代，进行后处理否10ttnt212ttt122tttEEHH24FDTD在时间步进上的蛙跳计算示意图25空间步长麦克斯韦方程建立的有限差分算法方程是用对空间和时间的差分代替微分，这种替代将产生误差，能使在计算网格空间所模拟的波形产生色散。换句话说，在FDTD网格空间中存在的数值模，其相速取决于模的波长、传播方向以及网格单元的尺寸。数值相速随传播角和网格尺寸而变化的慢波效应是FDTD算法的一个固有属性。要保证算法的精度，空间步长、和要取得足够小，通常取所感兴趣的最高频率所对应波长的1/10到1/20。xyz1葛德彪，阎玉波。电磁波时域有限差分方法。西安：西安电子科技大学出版社。2002，p2726解的稳定性在执行FDTD算法时，随着时间步长的增长，保证算法的稳定性是一个很重要的问题。数值解是否稳定主要取决于时间步长与空间步长间的关系。对于一般的三维FDTD网格，数值解稳定的条件（CFL条件）是：21222max)111(zyxtv(Curant’sstabilitycriterion)1葛德彪，阎玉波。电磁波时域有限差分方法。西安，西安电子科技大学出版社。2002，p26这样随时间步进的场量不会随时间增加而发散27实际的电磁场问题总是包含有激励源，恰当地将激励源引入到FDTD网格之中对于正确地模拟电磁场问题是至关至要的。在引入过程