《计算电磁学》第四讲

4/11/20209:49AM第四讲FDTD:差分格式及解的稳定性Dr.PingDU(杜平)E-mail:[e-mail]nceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)4/11/20209:49AMFDTD基本原理Yee差分算法考虑一无源区域，其媒质的参数不随时间变化且各向同性，则Maxwell旋度方程可以写成1tEHE(4.1)(4.4)其中，E为电场强度，H是磁场强度，是介电常数，是电导率，是磁导率。在直角坐标系中，式(4.1)、（4.2）变为1yxzHEEtxz(4.3)(4.2)1yxzEHEtzy1tHE4/11/20209:49AM1yxzEEHtyx1yxzxHEHEtyz1yxzyEHHEtzx1yxzzHHEEtxy(4.5)(4.6)(4.8)(4.7)式(4.3)-(4.8)是FDTD算法的基础。1966年，美籍华人K.S.Yee对上述6个方程引入了一种差分格式——Yee网格。其原理是，首先在空间建立矩形差分网格，网格节点与一组相应的整数标号相对应：(,,)(,,)ijkixjykz(4.9)4/11/20209:49AM该函数在时刻的值可以表示为nt(,,)(,,,)nFijkFixjykznt(4.10)其中，,,分别为矩形网格沿x,y,z方向的空间步长，为时间步长。Yee采用中心差分来代替对空间和时间坐标的微分，因而具有二阶精度xyz211(,,)(,,)(,,)22(())nnnFijkFijkFijkOxxx11222(,,)(,,)(,,)(())nnnFijkFijkFijkOttt(4.11)(4.12)为获得(4.11)中的精度，并满足(4.3)-(4.8),Yee将空间任一矩形网格上的E和H的6个分量按如图4-1所示放置。4/11/20209:49AM图4-1Yee差分网格(Yee’scell)xExExEyEyEyEzEzEzExHzHyHxyz(,,)ijk(1,,)ijk(1,,1)ijk(1,1,1)ijk(,1,1)ijk(,1,)ijk4/11/20209:49AM112211(,,1)(,,)111122,,(,,)112222,,2211(,,)(,1,)22nnyynnxxnnzzEijkEijktHijkHijkzijkEijkEijky(4.13)112211,1,,,111122,,,,112222,,2211,,(1,,)22nnxxnnzznnyyEijkEijktHijkHijkyijkEijkEijkx(4.14)(4.15)1122111,,,,111122,,,,112222,,2211,,(,,1)22nnzznnyynnxxEijkEijktHijkHijkxijkEijkEijkz4/11/20209:49AM(4.16)111221,,2112,,1112,,,,112211,,,,1,,2,,2222112,,211,,22nnxxnnzzijktijktEijkEijkijktijkijktijkijkHijkH112211,,221111,,,,2222nnyyijkyHijkHijkz4/11/20209:49AM(4.17)111221,,2112,,1112,,,,112211,,,,1,,2,,2222112,,211,,22nnyynnxxijktijktEijkEijkijktijkijktijkijkHijkH112211,,221111,,,,2222nnzzijkzHijkHijkx4/11/20209:49AM(4.18)111221,,2112,,1112,,,,112211,,,,1,,2,,2222112,,211,,22nnzznnyyijktijktEijkEijkijktijkijktijkijkHijkH112211,,221111,,,,2222nnxxijkxHijkHijky4/11/20209:49AM以上通过对各网格点上电磁场交替进行计算，在执行到恰当的时间步后，就能得到所需要的时域结果。这种差分格式成为蛙跳格式。式(4.13)-(4.18)的差分格式中，从第n层更新到第n+1层时，提供了逐点计算场分量的直接表达式，这被称为显式格式。于此相对的是隐式格式，它通常需要求解代数方程组，才能得到解。以后介绍的ADI-FDTD就是隐式格式的。由式(4.13)-(4.18)可以看出，每个网格点上的各个场分量的新值由该点在前一个时间步长时刻的值和该点周围邻近点上另一场量的场分量早半个时间步长时刻的值所决定。我们可以一次算出网格点上的场分量。也可以采用多个并行处理器一次算出多个点上的场分量，所谓的并行FDTD就是这样。4/11/20209:49AM111SCddt1DSHl11,,22ijk11,,22ijk11,,22ijk11,,22ijk1,,2ijk1,,2ijk1,,12ijk1,1,2ijkxHxHyHyHyEyEzEzExyz1C环路积分解释上面从Maxwell旋度方程出发，利用中点差分公式，导出Yee差分方程。其实，也能够从积分形式的Maxwell方程、Ampere定律和Farady定律推导出。为简化，仅考虑自由空间情形。如图4-2所示，将Ampere定律用于环路，有1C(4.19)图4-2环路1C4/11/20209:49AM11111111,,,,,,,,22222222xyxyRHSHijkxHijkyHijkxHijky1011,,,,22nnzzxyLHSEijkEijkt假设场分量在环路每边中点的值等于场分量在该边的平均值，于是(4.20)再假设等于在小面元S1的平均值。于是用中点差分代替对时间的偏导，1,,2zEijkzE中点取在12tnt，得(4.21)4/11/20209:49AM111112222011,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnzznnnnyyxxEijkijkHijkHijkHijkHijktxyExE由式(4.20)、(4.21),得(4.22)相似地，可以对、,利用Ampere定律导出相应的差分方程。yE4/11/20209:49AM同样地，可以将Farady定律用于图4-3所示的环路2C22SCddt22BSEl(4.23)4/11/20209:49AM1,,2ijk1,1,2ijk1,,2ijk11,,2ijk11,,22ijk1,,2ijk11,1,22ijk13,,22ijkxExEyEyEyEyEzHzHxyz2C图4-3环路2C4/11/20209:49AM1111,,1,,,1,,,2222xyxyRHSEijkxEijkyEijkxEijky110221111,,,,2222nnzzxyLHSHijkHijkt假设场分量在环路每边中点的值等于场分量在该边的平均值，于是(4.24)再假设等于在小面元S2的平均值。于是用中点差分代替对时间的偏导，11,,22zHijkzHzH中点取在，得tnt(4.25)由式(4.24)、(4.25),得4/11/20209:49AM1122011,1,,1,111122,,,,222211,,1,,22nnxxnnzznnyyEijkEijktHijkHijkyEijkEijkx(4.26)xHyH相似地，可以对、，利用Farady定律导出相应的差分方程。4/11/20209:49AM从积分形式的Maxwell方程出发推导出的差分方程，对于处理细线、槽缝、弯曲表面等结构处理特别方便，可将环路路径选取来与弯曲表面、槽缝等结构共形匹配。4/11/20209:49AM解的稳定性及数值色散在FDTD法中，时间步长和空间步长，和并不是无关的。它们的取值必须满足一定关系，才能避免数值结果的不稳定。不稳定表现为，在求解显示差分方程时，随着步长步数的增加，计算结果将无限制地增加。txyz为了确定数值解稳定的条件，必须考虑在FDTD算法中出现的数字波模，其基本方法是把有限差分算式分解为时间和空间的本征值问题。任何波都可以展开为平面波的叠加。因而，如果一种算法对平面波是不稳定的，则它对任何波都是不稳定的。因而，我们只需要考虑平面波本征模在数字空间中传播，这些模的本征值谱由数字空间微分方程来确定，并与由数字时间微分方程确定的稳定本征值谱比较。空间本征值谱必须包含在稳定区间，以确保这种算法中所有可能的数字波模是稳定的。4/11/20209:49AM为简单起见，近考虑无耗媒质空间(，和均为实数/张量)。0考虑、的FDTD方程，分别为zEzH11122112211,,,,221111,,,,22221111,,,,2222nnzznnyynnxxEijkEijkHijkHijktxHijkHijky(4.27