《计算电磁学》第三讲

4/11/2020第三讲边界条件及有限差分法应用Dr.PingDU(杜平)E-mail:[e-mail]nceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)4/11/20202边界条件及其处理积分形式的麦克斯韦方程微分形式的麦克斯韦方程LSdIdtHlDSLSddtElBS0SdBSSdqDStDHJtBE0BD(3.1a)(3.1b)(3.1c)(3.1d)(3.2a)(3.2b)(3.2c)(3.2d)其中,H为磁场强度;B为磁感应强度;D为电通量密度；为电荷密度;为电流密度J4/11/20203对线性、均匀、各向同性媒质，有，。DEBΗ其中、分别为介质的介电常数和磁导率。1．不同介质分界面上的处理方法在实际问题中，常遇到所分析的场域存在不同介质。在不同介质分界面上，电通量是连续的，有()0其中，为电位，E-------------------------------------------------------------------------------------------------------------(3.3)在不同介质分界面处，电位也是连续的。切向电场强度也是连续的12nEnE4/11/2020410342hhh/2h/2'aa21S图3-1直线形介质分界面处的差分格式对式(3-3)进行面积分，并利用二维Gauss定理，得()()0Sldsdln式中，是垂直于区域S围线l的外法线矢量。将S区域各边上的用其所在边中心点处的两点差分表示，可得（3-4）式左边的积分值。如，对a-a’边，沿线的积分为n020212022rrhhhh(3.4)(3.5)4/11/20205对其他三个边类似处理，可得0102021120403032120rrrrrrhhhhhhhhhhhh经过整理，可得121212011242312422rrrrrrrr从式(3-7)可以看出，在分界面上的等效相对介电常数为，即取平均值。122rr对于具有角点的介质交界面情形(3.7)(3.6)4/11/20206ab12340图3-2含角点的介质分界面角点处的电位为00123431442ababbbb(3.8)4/11/202072.边界条件的处理三类边界条件第一类边界条件：()cgp当网格节点位于边界C上时，则取所在位置的值。若节点不位于边界C上时，有三种处理办法。01(2)线性插值法(3.10)(3.9)(1)直接转移法4/11/2020812340hhxyC2h1h图3-3第一类边界条件的差分网格11301hhhh(3.11)4/11/20209(3)双向插值法若，，代入Poisson方程，则有34hhh1hh2hh20123401111110.5(1)(1)11hf第二类边界条件：cgnhh2310边界场区附加节点chh1边界场区(1)c0(a)(b)图3-4第二类边界条件的差分网格(3.13)(3.12)4/11/202010若网格点和边界点重合，0123124否则，可令，再利用不等距差分公式计算。01当为0时，为齐次边界条件。g第三类边界条件：cgn0当时，降为第二类边界条件。(3.15)(3.14)4/11/202011CVPROQahbhch图3-5第二类和第三类边界条件的差分网格处理办法：过点O向边界作垂线PQ，与边界交于Q点。令OP、PR、VP的长度分别为ah，bh和ch。对点O有，()opoOhahn点P的值由点V和R的插值得到，2()pVRbcOh(3.16)(3.17)4/11/202012代入（3-16）,且由于()OQOhnn有1()OVRQbcOhahn由式(3-15),有()()QQQgQn由式(3-19)和(3-20)，得点O的差分格式为1()()oVRobcQgQah(3.21)(3.18)(3.19)(3.20)4/11/202013有限差分法的应用(ApplicationoftheFiniteDifferentialMethod)差分方程组的建立分析二维Poisson方程的第一类边界问题为例。设场域D为正方形：01x01y假设x方向和y方向的步长相等。,。1/xyhhhN以这样的网格离散该区域，如图3-6所示。xy011h2hh(1)Nh2h(1)Nh(1,2)(1,1)(2,1)(N-1,2)(N-1,1)图3-6正方形区域的差分网格4/11/202014五点差分格式为：21,,11,,1,,,,4D(,)ijijijijijijijijhfgij，点(i,j)位于区域内部，点位于边界上提示：用一个例子加以说明；把写成一维列向量。在确定了网格格式后，就要据此建立线性方程组。用矩阵符号可写成，,ijKF其中，[K]为系数矩阵，为未知量,[][F]为已知量引入x方向的层向量1,12,111,1N(3.23)(3.22)4/11/202015一般地，1,2,1,jjjNj,1,2,...1jN先确定矩阵[K]。假设一共有3×3个内节点(N=4)，并以此为例。xy011h2hh2h(1,2)(1,1)(2,1)(3,3)(2,3)(3,2)(2,2)(3,1)(1,3)3h3h图3-7含3×3个内节点的区域(3.24)4/11/202016对节点(1,1)，其差分格式为xy011h2hh2h(1,2)(1,1)(2,1)(3,3)(2,3)(3,2)(2,2)(3,1)(1,3)3h3h图3-7含3×3个内节点的区域20,11,02,11,21,11,14gghf对节点(2,1)，其差分格式为对节点(3,1)，其差分格式为21,12,03,12,22,12,14ghf22,13,03,2,13,13,14Ngghf(3.27)(3.25)(3.26)4/11/202017对节点(1,2)，其差分格式为20,21,12,21,31,21,24ghf对节点(2,2)，其差分格式为21,22,13,22,32,22,24hf对节点(3,2)，其差分格式为对节点(1,3)，其差分格式为对节点(2,3)，其差分格式为对节点(3,3)，其差分格式为22,23,13,3,23,23,24Ngghf20,31,22,31,1,31,34Ngghf21,33,32,22,2,32,34Nghf22,33,2,33,3,33,34NNgghf(3.28)(3.31)(3.29)(3.30)(3.32)(3.33)4/11/202018我们将所有的内节点(,)写成一列向量，其为,ij1,2,3i1,2,3j1,12,13,11,22,23,21,32,33,3系数矩阵[K]为410100000141010000014100000100411000010141010001014001000100410000010141000001014K(3.34)(3.35)4/11/202019F为21,10,11,022,12,023,1,121,20,222,223,2,221,30,31,22,32,23,3,33,FNNNNNNhfgghfghfghfghfhfghfgghfghfgg差分方程具有如下特征：©系数矩阵[K]是大型稀疏矩阵；©矩阵[K]往往是对称正定的，且其前主子式都大于零；但当边界和网格节点不重合时，[K]的对称性将遭到破坏；（如果具有对称性，则利用这一特性可减少约一半的存储量）(3.36)4/11/202020©K通常不可约，因而方程组不能有其中的一部分单独求解。差分方程组的求解：(1)直接法，如高斯消元法，LU分解。在MATLAB中，可以用phi=K\F求得。(2)迭代法，Jacobi法，Gauss-Seidel法，SSOR法.若用Jacobi法，第次的近似值可由第次的近似值得到，其公式为(1)()()()()2,1,,11,,1,14nnnnnijijijijijijhf若用Gauss-Seidel法，第n+1次的迭代中，部分值是第n次迭代得到的；有些是刚更新的，其公式为(1)()()(1)(1)2,1,,11,,1,14nnnnnijijijijijijhf(3.37)(3.38)4/11/202021观察这两个公式可以看出，前者需要存储第n、n+1这两次迭代的近似值；后者只需要存储第n+1次的近似值。另外，由《数值分析》知道，Jacobi法的收敛速度慢于Gauss-Seidel法。为了进一步加快迭代速度，我们引入加速因子。由公式(b)构造，可构造新的迭代公式,(1)()()()(1)(1)2(),,1,,11,,1,,44nnnnnnnijijijijijijijijhf这就是所谓的超松弛迭代法(SSOR).(3.39)4/11/202022加速因子满足：。当时，公式(3.39)变为(3.38)。当时，迭代公式会发散。1212的值对收敛速度有很大影响。对正方形场域的第一类边值问题，最佳的为21sinol其中，l为每边的节点数。对于用矩形网格分割的矩形区域，假设每边的节点数分别为l+1，m+1，则221122olm(3.40)(3.41)4/11/202023两个算例(Twonumericalexamples)：算例一：二维区域中的电位分布(Thepotentialdistributionina2-Ddomain);算例二：矩形波导的截止波长(Thecutoffwavelengthoftherectangularwaveguides).首先分析第一个例子。例1一无限长接地金属槽，其侧壁及底面电位均为0，顶的电位为100，如图3-8所示。计算槽内的电位分布。xy011V000图3-8无限长接地金属槽4/11/202024Analyticalsolution:(1)04sinh(/)(,)sinsinh()noddnyanxxynna(矩形区域，x、y方向长度分别为a，b；上边界的电位为，其他三个边界电位均为0)；0(2)04sinh(/)(,)sinsinh(/)noddnxbnyxynnabb