《计算电磁学》第七讲

2020年4月11日9时50分1《计算电磁学》第七讲Dr.PingDU(杜平)E-mail:[e-mail]nceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Nov.10,2011基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法——ADI-FDTD法2020年4月11日9时50分2OutlineII.ADI-FDTD基本原理III.解的稳定性与数值色散IV.吸收边界条件V.应用实例I.ADI-FDTD简介2020年4月11日9时50分37.1ADI-FDTD简介传统FDTD属于显式差分方法，具有显式差分方法的共同特性，解的过程必须满足稳定性条件。对FDTD法就是必须满足CFL条件。隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅受到数值误差的限制。然而，隐式差分也有缺点，那就是需要通过矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大。1956年，Peaceman和Rachford提出了交变隐式差分方向法(Alternating-DirectionImplicitMethod,ADI法)。其基本思想：然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向。对于空间变量为多维的偏微分方程，首先选取任一变量方向按隐式差分格式处理而余下的变量方向按显式差分格式处理。对每一步来说，解仍然是有条件稳定的。但是两步复合的结果使得解是无条件稳定的。(1)DifferencebetweenandconventionalFDTDandADI-FDTD2020年4月11日9时50分4ADI最早应用于抛物型偏微分方程的求解。1999年，T.Namiki首先将其原理应用于FDTD法，提出了ADI-FDTD，并将其用于二维TE波问题的模拟。G.Liu研究了Berenger的PML媒质中的ADI-FDTD差分格式。C.P.Chen报道了ADI-FDTD法在VLSI互连线电磁特性模拟方面的应用。这些结果初步显示ADI-FDTD法相对于传统FDTD法的优势。(2)ADI-FDTD法的早期历史2020年4月11日9时50分57.2ADI-FDTD基本原理考虑空间为一个无源区域，其媒质参数不随时间变化且各向同性，Maxwell旋度方程在直角坐标系中写成分量式为1yxzxEHEHtzy1yxzyHEEHtxz1yxzzEEHHtyx(1)ADI-FDTD差分格式I(7-1)(7-2)(7-3)2020年4月11日9时50分61yxzxHEHEtyz1yxzyEHHEtzx1yxzzHHEEtxy(7-4)(7-5)(7-6)在ADI-FDTD算法中，仍旧采用Yee矩形差分网格。E和H的6个分量如图4-1所示放置。每个磁场分量由4个电场分量环绕；反之，每个电场分量也由4个磁场分量环绕。空间偏微分仍旧采用中心差分格式。方程左边的时间偏微分项仍旧采用中心差分格式，左边第二项采用半步长前向近似格式。ADI-FDTD与传统FDTD区别:对Maxwell旋度方程右边的时间离散化处理不同。2020年4月11日9时50分7图4-1Yee差分网格(Yee’scell)xExExEyEyEyEzEzEzExHzHyHxyz(,,)ijk(1,,)ijk(1,,1)ijk(1,1,1)ijk(,1,1)ijk(,1,)ijk2020年4月11日9时50分8过程一111111,,,,221111,,,,22221111,,,,2222nnxxnnzznnyytEijkEijkHijkHijktyHijkHijkzMaxwell旋度方程右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式。(7-7)2020年4月11日9时50分9111111,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnyynnnnxxzztEijkEijkHijkHijkHijkHijktzx111111,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnzznnnnyyxxtEijkEijkHijkHijkHijkHijktxy(7-8)(7-9)2020年4月11日9时50分1011111111,,,,22221111,,1,,,,,1,2222nnxxnnnnyyzztHijkHijkEijkEijkEijkEijktzy11111111,,,,222211111,,,,,,,,12222nnyynnnnzzxxtHijkHijkEijkEijkEijkEijktxz(7-10)(7-11)2020年4月11日9时50分1111111111,,,,22221111,1,,,,,1,,2222nnzznnnnxxyytHijkHijkEijkEijkEijkEijktyx过程二(7-12)Maxwell旋度方程右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式。2020年4月11日9时50分12211122111,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnxxnnnnzzyytEijkEijkHijkHijkHijkHijktyz211122111,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnyynnnnxxzztEijkEijkHijkHijkHijkHijktzx(7-13)(7-14)2020年4月11日9时50分13211122111,,,,2211111111,,,,,,,,22222222nnzznnnnyyxxtEijkEijkHijkHijkHijkHijktxy21112211111,,,,22221111,,1,,,,,1,2222nnxxnnnnyyzztHijkHijkEijkEijkEijkEijktzy(7-15)(7-16)2020年4月11日9时50分1421112211111,,,,222211111,,,,,,,,12222nnyynnnnzzxxtHijkHijkEijkEijkEijkEijktxz21112211111,,,,22221111,1,,,,,1,,2222nnzznnnnxxyytHijkHijkEijkEijkEijkEijktyx(7-17)(7-18)2020年4月11日9时50分15在过程一中，将式(7-12)的代入式(7-7)，将式(7-10)的代入式(7-8),将式(7-11)的代入式(7-9)，可得1nzH1nxH1nyH111111111C,1,12C,,C,1,22211111,,,,,,2222211,,221nnnxxxnnnxyynztEijkEijkEijktEijkHijkHijkztyHijkt211,,2211111,,,,1,,,,22221nznnnnyyyyHijktyxEijkEijkEijkEijkt其中，221C1tyt(7-19)2020年4月11日9时50分16111222111C,,112C,,C,,122211111,,,,,,2222211,,221nnnyyynnnyzznxtEijkEijkEijktEijkHijkHijkxtzHijkt211,,221111,1,,,,1,,,22221nxnnnnzzzzHijktyzEijkEijkEijkEijkt其中，222C1tzt(7-20)2020年4月11日9时50分17113313111,,12,,2211,,211111,,,,,,2222211,,221nnzznznnnzxxnytCEijkCEijkCEijktEijkHijkHijkytxHijkt211,,221111,,1,,,,1,,22221nynnnnxxxxHijktxzEijkEijkEijkEijkt其中，223C1tzt(7-21)2020年4月11日9时50分18过程一执行过程：1.由式(7-19)-(7-21)解出111nnnxyzEEE、、2.将其代入到式(7-10)-(7-12)