《计算电磁学》第五讲(二)

2020/4/111Oct.31,2011《计算电磁学第五讲》（二）Dr.PingDU(杜平)E-mail:[e-mail]nceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)2020/4/112Berenger完全匹配层Gedney完全匹配层Outline2020/4/113Berenger完全匹配层PML媒质的定义首先，以二维TE()情形为例建立PML媒质的方程。0zE如图4所示，在直角坐标系中，电磁场不随z坐标变化，电场位于(x,y)平面。xyEkxEyEzH图4TE问题2020/4/114,,xyzEEH00,电磁场只有3个分量Maxwell方程退为3个方程。媒质的介电常数、磁导率分别为磁阻率为.Maxwell方程为0xzxEHEty0yzyEHEtx0yxzzEEHHtyx(5-42)(5-43)(5-44)2020/4/115如果00成立，则该媒质的波阻抗与自由空间波阻抗相等。当波垂直入射到媒质-自由空间分界面时，不存在反射。zHzxzyHH和,,,xyzxzyEEHH定义TE情形下的PML媒质。需要将分裂为这样，PML媒质有4个场分量，其满足方程两个分量。0()zxzyxyxHHEEty0()yzxzyxyEHHEtx(5-45)(5-46)(5-47)2020/4/1160yzxxzxEHHtx0zyxyzyHEHtyxy和xy和其中，为电导率，为磁阻率。(5-49)(5-48)2020/4/117PML媒质中平面波的传播考察正弦平面波在PML媒质中的传播。0E令电场分量的振幅为，与y轴夹角为，如图4所示。zxzyHH、00zxzyHH、分裂磁场分量的振幅分别为这些场分量分别可表示为()0sinjtxyxEEe()0sinjtxyyEEe(5-50)(5-51)2020/4/118()0jtxyzxzxHHe()0jtxyzyzyHHe和是角频率，t是时间，为复常数。其中0E00zxzyHH、、、已知，方程(5-50)-(5-53)中有4个待定量：假设将他们代入到方程(5-46)-(5-49)中，可得4个待定量的关系式为00000sinsinyzxzyEjEHH(5-53)(5-52)(5-54)2020/4/11900000coscosxzxzyEjEHH0000cosxzxzxHjHE0000sinyzyzyHjHE消去00zxzyHH、，可得00000cossin1sin11yxyjjj(5-57)(5-56)(5-55)(5-58)2020/4/111000000cossin1cos11xxyjjj我们可以解出和首先，和的比值为001sin=cos1yxjj(5-59)(5-60)2020/4/1111然后由式(5-60)和(5-59)可求得。22和由(5-60)、(5-58)可求得由此，存在两组符号相反的，代表着两个相反的传播方向选择正的一组解，有0001cosxjG0001sinyjG(5-62)(5-61)2020/4/1112其中，22cossinxyGww0011xxxjwj0011yyyjwj于是求得了PML媒质中平面波的传播常数。(5-65)(5-64)(5-63)2020/4/11130用代表该平面波的任一场分量，其振幅为。由式(5-50)-(5-53)及式(5-61)-(5-62)，有00sincoscossin0=yxxyxyjtcGcGcGeee最后，将式(5-61)、(5-62)的值代入式(5-56)(5-57)，可解得200001=coszxxHEwG200001=sinzyyHEwG(5-66)(5-67)(5-68)2020/4/1114由式(5-63)-(5-65)，可得000000zxzyHHHEG电场与磁场的振幅比为001ZG现在假设两组参数和均满足(5-45)。xx、yy、此时，对任何频率均等于1.xywwG、和(5-69)(5-70)2020/4/1115场分量和波阻抗的结果为00sincoscossin0yxxyxyjtccceee00Z©(71)第一指数项表明，PML媒质中的波在垂直于电场的方向以自由空间中的波速传播；后两个指数项表明，此时波的振幅沿x和y方向按指数规律减小©式(72)表明：此时PML媒质的波阻抗与自由空间波阻抗相同(5-71)(5-72)2020/4/1116©对式(5-66)，如果波沿y方向传播，并且，0yy©反之，如果波沿x方向传播，并且，0xx则波沿x方向无衰减地传播，PML不能吸收波。则波沿y方向无衰减地传播，PML不能吸收波。©观察波函数表达式(5-71)，如果，则沿y方向的指数项等于1，波只在x传播方向被吸收；0yy©反之，如果，则沿x方向的指数项等于1，波0xx只在y传播方向被吸收2020/4/1117PML-PML媒质分界面处波的传播考察电磁波从一种PML到另一种PML媒质的传播问题。先考虑分界面垂直于x轴的情形，如图5所示。图5垂直于x轴的PML-PML媒质分界面x=01r212yxiErEtEiHrHtH分界面2020/4/111812-r、、itrEEE、、1111xxyy、、、2222xxyy、、、设分别表示入射、透射、反射电场相对分界面的角度和媒质参数分别为如果PML媒质满足匹配条件(5-45)，根据式(5-71)，12r、、分别为相对分解面法向定义的入射角、透射角、反射角(见图5)假设分界面为无限大，入射、透射、反射波均为平面波。itrEEE、、00itrEEE0、、记振幅分别为由式(5-66)可写出入射、反射、透射电场在x=0分界面的表达式为2020/4/111911010sin=exp1yjtiiyEEejjcG1r010sin=exp1yjtrryEEejjcG22010sin=exp1yjtttyEEejjcG其中，22cossin,(1,2)kxkkykkGwwkxkykww和可由(5-64)和(5-65)算出(5-75)(5-74)(5-73)(5-76)2020/4/1120由(5-69)和(5-70)式可知入射、反射、透射磁场在x=0分解面分别为1=/iiHEZ1=/rrHEZ2=/ttHEZ(5-77)(5-78)(5-79)在分界面处，切向电磁场分量yzxzyEHH和必须连续，因而有12cos-cos=cosirrtEEE+=irtHHH(5-80)(5-81)2020/4/1121将式(73)-(75)代入到(80)，该式要对所有的y都成立，必须使式(73)-(75)中的指数因子相等.由此可得1=r12120102sinsin1=1yyjjGG(5-82)这两式为PML-PML媒质分界面处的Snell定律。(5-83)最后，式(5-80)和(5-81)变为2020/4/1122010102coscos=cosirtEEE000112+=irtEEEZZZ(5-84)(5-85)定义反射系数为分界面处反射与入射电场切向分量之比。由上面两式，可得TE情形的反射系数为22112211coscos=coscospZZRZZ由式(5-70)，反射系数还可写成12211221coscos=coscospGGRGG12GG、12、其中是的函数，可由(5-76)计算(5-86)(5-87)2020/4/1123,yy考察特殊情况：两种媒质的相同。此时Snell定律(5-83)变为1212sinsin=GG将(5-88)代入到式(5-87)，有12211221sincossincos=sincossincospR(5-88)(5-89)对(5-89)两边平方，将12GG、用式(5-76)代入，注意此时12yyww,得212121sincos=sincosxxww(5-90)2020/4/1124由(5-89)和(5-90)，可得1212=xxpxxwwRww(5-91)这表明：即使媒质不满足匹配条件式(5-45)，只要两种媒质具有相同的,yy,反射系数将不随入射角1变化；只通过式(64)、(65)随频率而改变如果媒质是匹配的，有121GG,式(5-88)、(5-89)简化为12=12121212sinsin=sin=sin=GG()(5-92)1221=0sincossincos0pR(5-93)2020/4/1125这表明：如果媒质满足匹配条件式(5-45)，只要两种媒质具有相同的,yy,任意入射角、任意频率的平面波将无反射地通过PML-PML媒质分界面当PML-PML分界面垂直于y轴时，有类似结论综上所述，可得出结论：©在垂直于x轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的,yy则反射系数始终为零相同,©在垂直于y轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的,xx相同,则反射系数始终为零2020/4/1126用于FDTD的PML图6为PML与FDTD网格结合的方案。FDTD仿真区域假设为自由空间，它被PML媒质包围，PML又被PEC包围。2222PML(,,,)xxyy1122PML(,,,)xxyy1111PML(,,,)xxyy2211PML(,,,)xxyy22PML(0,0,,)yy11PML(,,0,0)xx22PML(,,0,0)xx11PML(0,0,,)yyFDTD仿真区自由空间PECDABC外向波图6FDTD网格与PML的结合2020/4/11270cos()(0)exprrc(5-94)0cos()exp2Rc(5-95)00cos()exp2()Rrdrc(5-96)在PML媒质中距离分界面为r的地方，外向平面波的幅度可写成其中是相对媒质分界面定义的入射角，是x或yy如果PML媒质厚度为δ，则其表面的反射系数为电导率从自由空间-PML分界面的0到PML最外面逐渐增加。设离开自由空间-PML分解面距离为r处的导电率为()r则分界面反射系数为，2020/4/1128如果取max()nrr(5-97)(5-98)将其代入到(5-96)，可得max02cos()exp(1)Rnc当0(垂直入射)时，max02(0)exp(1)Rnc(5-99)2020/4/1129PML中差分格式在PML中可以采用指数差分，也可以采用普通的中心差分公式二者的计算复杂度相当，准确程度也差不多对于PML媒质中的偏