数学物理方法讲义

《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪论含义使用数学的物理——（数学）物理物理学中的数学——（应用）数学MathematicalPhysics方程1x222111cybxacybxatadtdx)(taxdt常微分方程0222xdtxdCtAxcos偏微分方程——数学物理方程0222222zyxzyx,,12xzyxUzyxmhthi,,22222222tzyx,,,复数1.数的概念的扩充正整数（自然数）1，2，…运算规则＋，－，×，÷，2，－121负数0，-1，-2，…整数…，-2，-1，0，1，2，…÷5.021333.031有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数414.12无理数无限不循环小数实数有理数、无理数i1虚数yi复数实数、虚数、实数＋虚数yixyx,,2.负数的运算符号12xix1ii虚数单位，作为运算符号。3.作为方程的解02cbxaxaacbbx242（042acb）aacbibx242（042acb）4.数学运算的需要——数系的完备性、自洽性5.物理学的需要——平面矢量、二维数组第一章复变函数基本知识4学时复数表示代数式iyxz三角式sincosiz指数式iez几何意义运算规则复变函数zfwiyxzivuwiezirewyxuu,yxvv,yx,←→vu,常用初等复变函数指数函数三角函数双曲函数对数函数根式函数反三角函数幂函数一般指数函数第二章复变函数微分4学时复变函数的极限Azfzz0lim复变函数的连续性00limzfzfzz00,,00,,,,lim,,lim0000yxvyxvyxuyxuyxyxyxyx复变函数的导数000limzzzfzfdzdwzz解析函数在0z点，及其某一邻域内的每一点可导。在D区域，处处可导。连续、可导、解析三者关系在0z点，如可导，则连续。0limlim0000zzdzdwzfzfzzzz0lim00zfzfzz在0z点，如解析，则可导。即在0z点，连续、可导、解析三个条件依次变强。而在D区域，可导与解析等价。柯西---黎曼方程xvyuyvxu可导、解析、柯西---黎曼方程三者关系可导的必要条件是xu，yu，xv，yv存在且柯西---黎曼方程成立。可导的充分必要条件是xu，yu，xv，yv连续且柯西---黎曼方程成立。在D区域，解析的充分必要条件是xu，yu，xv，yv连续且柯西---黎曼方程成立。条件xu，yu，xv，yv连续等价于全微分dyyudxxudu，dyyvdxxvdv存在或称yxuu,，yxvv,处处可微调和函数02222yx共轭调和函数02222yuxu02222yvxvxvyuyvxu解析函数、调和函数、共轭调和函数三者关系在D区域，如zf解析，则yxuu,，yxvv,调和，从而v与u共轭、u与v共轭。构造解析函数调和函数+柯西---黎曼方程→解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章复变函数积分4学时复变函数的积分iyxzivuzfxyyC:cvdxudyicvdyudxdzczfiezirezf:Ccdericdredzczfii复变函数可积条件充分条件zf沿曲线C连续必要条件zf沿曲线C有界柯西积分定理如zf在单连通区域D内解析，C为D内任一周线，则0dzzfc推论解析函数积分与路径无关dzczfdzczf21如zf在单连通区域D的边界（分段光滑）上连续，则0dzzf对多连通区域的边界110，亦有0dzzf可表示为dzzfdzzfdzzf210对D内任一点0z，有柯西积分公式dzzzzfizzf001推论设C为简单闭曲线，D为C的外部区域，f有限。如0z在D内，则111000000111110CCCCfzfzdzzizzfzfzdzdzzizzzizzfzdzfzizzfzdzfzizz如0z不在D内，则111000001011010100CCCCfzdzzizzfzfzdzdzzizzzizzfzdzfzizzfzdzfzizz此时0fz无意义。第四章幂级数4学时4—1复级数复级数1kkz复级数的收敛1kkzz复级数的绝对收敛1kkzz复级数收敛的必要条件0limkkz复级数收敛的充分条件1kkz收敛复级数收敛的充分必要条件1对任意小，有N；当Nn，pnnkkz121kkx、1kky收敛复级数绝对收敛的必要条件1kkz收敛复级数绝对收敛的充分必要条件1kkx、1kky收敛4—2复函数级数复函数级数zfkk1复函数级数的收敛在0z点zfzfkk1对任意小，有N（与0z点有关）；当Nn，nkkzfzf1复函数级数的一致收敛在D区域对任意小，有N（与0z点无关）；当Nn，nkkzfzf1复函数级数一致收敛的充分必要条件对任意小，有N（与0z点无关）；当Nn，pnnkkzf1复函数级数基本性质--------------------------如kkMzf，且1kkM收敛则zfkk1在D区域绝对且一致收敛---------------------------在D区域，如zfk连续，且zfkk1一致收敛则zf连续---------------------------沿C曲线，如zfk连续，且zfkk1一致收敛则dzczfdzczfkk1----------------------------在D区域，如zfk解析，且zfkk1一致收敛则zf解析zfzfkknn1常用级数1ln1kk11kk11kka1!1kk2ln1kpkk1p收敛1p发散11kpk1p收敛1p发散1sinkpkk0p收敛1coskpkk0p收敛4—3复幂级数0kkkcz在Rz收敛在Rrz绝对一致收敛收敛半径1limkkccRkkkcRk1lim,,00RR级数收敛判别法kkkkzczck11lim1收敛1不定1发散kkkzck1lim1收敛1不定1发散4—4幂级数展开对zf，如0z非奇点，在Rzz0Taylor级数00kkkfzczz0!kkfzck对zf，如0z孤立奇点，在Rzzr0Laurent级数kkkzzczf0dzfickk1021闭合曲线：0zzrR对zf，如0z非奇点0k时，由柯西积分公式dzzzzfizf0021dzzzzfikzfkk10021!!21010kzfdzfickkk0k时，由解析函数性质02110dzfickk4—5复函数的零点与奇点zf复函数的零点23zzzsinz1ze1ze复函数的奇点23111zzzsinzz1ze11ze1gzfz奇点分类无穷远点性质zf1gzfz4—6幂级数求和zfzzckkk00第五章留数定理及应用简介2学时留数定义zf解析，Rzz000z孤立奇点，C：Rrzz0kzzczfkk010czfResCdzzfi21-------------------------------zf解析，zR孤立奇点，C：rzRkzczfkk1cfResCdzzfi21留数定理周线D包围区域kz奇点dzzfizfResnkk21101fReszfResnkk留数计算留数理论应用第六章付里叶级数6—1付里叶（Fourier）级数（复数形式）kzczfkkD：11Rzr令iez1，20则ikecgkk如gg*而ike是区间20上的正交完备函数族故dikegck2021*kkcc*00cc从而ikecgkkkikckikcckkkksincossincos*110kccikccckkkkkksincos*1*10kbkaakkkksincos110令gg2可将g解析开拓到区间kkkiBAckkkiBAc*kkkkAcca2*kkkkBiccb2*dga20021dikeikegak2021dkgcos120dikeikegibk202dkgsin1206—2付里叶级数（实数形式）kbkaagkkkksincos110dga20021dkgakcos120dkgbksin120令xl20lx20lxlzfgxFxlkbxlkaaxFkkkksincos110dxxFlall210dxxlkxFlallkcos1dxxlkxFlbllksin1付里叶级数收敛充分条件——Dirichlet定理lxlxF连续有限个极值点kx不连续有限个间断点kx200kkkxFxFxFx