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1.有一筐苹果53个，甲乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果，规定谁拿走最后1个苹果，谁获胜。如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略。【分析与解】这与抢报30所采取的策略类似。甲要取胜，甲必须先拿到第53个苹果才行。依此向前倒推，甲要先拿第50个、第47个、第44个，……，第5个，第2个。2.有一个3×3的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到九格中的一格，由甲方计算上、下两行六个数的和；乙方计算左、右两列六个数字的和，和数大的一方为胜，试问：先取的一方（甲方）一定能胜吗？【分析与解】由于四个角上的数都是两人共有的，因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。甲方要获胜，必须采取：（1）尽可能地将大数字填入A格或C格；（2）尽可能地将小的数字填入B格或D格。由于1+10＜3+9，甲应先将1放进B格。接下来，如果乙把10放进D格，甲再把9放进A格。这时不论乙怎么放，C格中一定放有大于或等于3的数，因而甲方一定获胜；如果乙把3放进A格，甲方只需将9放进C格，甲方也一定获胜。3.有九张卡片，分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙两人轮流取1张，谁手上的三张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。问保证不败的对策是什么？【分析与解】从1、2、……8、9中选三个数，使得和为15，有如下八组：①1、5、9；②2、4、9；③2、5、8；④2、6、7；⑤3、4、8；⑥3、5、7；⑦4、5、6；⑧1、6、8。每个人要保证不败，就应使对方不能获胜，选数的原则应该是：（1）使自己所占的可能性尽量多；（2）尽量破坏对方取胜的可能性。从上面八组数中看出：数字“5”在8组数中出现的次数最多（共4次），所以谁先选5，谁就比较占优势。不妨假设甲先取5。对于乙来说，他只剩下2、4、9；2、6、7；3、4、8；1、6、8这四种可能，为了使自己组成15的可能性尽可能大，乙应取2（或4、6、8）。接着又轮到甲取了，一方面，他既要破坏乙的可能性，又要使自己尽快达到15，所以应取4或6。如果甲取4，甲已取两数之和是5＋4=9。这时，甲只要再取6就获胜了。为了破坏甲取胜，乙就应接着取6，这样，乙已取两数之和就是2＋6=8，乙只要再取7就会获胜。所以，第三次甲应该取7，就彻底破坏了乙取胜的可能，上面的过程就是甲保持不败的对策，其它情况类推。4.两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先得到88，谁就获胜，问先报数者有无必胜的策略？【答案】先报者有必胜策略。5.在黑板上写下数2，3，4，…，1994，甲先擦去其中一个数，然后，乙再擦出一个数，如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时，甲胜，若最后剩下两个数不互质时，乙胜，试说明，甲先擦数，存在必胜的策略。【答案】甲先擦去2，将剩下1992个自然数配对：(3,4)，(5,6)，…，(1993,1994)，乙取某组中的一个，甲接着取其中的另一个。最后剩余一组，必互质，甲胜。6.甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？【分析】采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1～6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987～1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980～1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，….把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、….观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）.解：①甲要获胜必须先报，甲先报5；②以后，乙报几甲就接着报7减几.这样甲就能一定获胜.7.有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？【分析】为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.解：①甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.②乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.8.甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.【分析】采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.解：（略）.9.把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？【分析】采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜.解：为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.10.白纸上画了m×n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，…，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：先画者还是后画者有必胜策略？他的必胜策略是什么？（注：已画过点的格子不准再画.）【分析】m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律.1×1棋盘，先画者胜.1×2棋盘，后画者胜.2×2棋盘，后画者胜.2×3棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：2×3棋盘，总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的1×2的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的1×2小盘，这时，先画者就失败.由2×3棋盘的分析过程知：m，n中至少有一个为偶数时，m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.若m，n都是奇数，先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略.综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略.解：（略）.