高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用

三角形的四心的应用：内容类型重心外心内心垂心几何定义三边中线交点三边中垂线交点三内角平分线交点三边高线交点几何性质重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1到三顶点距离相等到三边距离相等垂心分每条高线的两部分乘积相等重心与三顶点组成三角形面积相等钝三角外心在三角形外直三角外心在斜边中点锐三角外心在三角形内双曲线焦点三角形的内切圆与x轴相应双曲线的相应顶点重心到三边距离与三边长成反比abcrS外4内rcbaS21重心到三顶点的距离的平方和最小3,3321321yyyxxx向量表示0GCGBGAOCOBOA且BCBCBABABIACACABABAIOAOBOBOC=OCOA0BCOCOBABOBOAPIcbaPCcPBbPAa例1、已知P是ABC所在平面内任意一点，且3PAPBPCPG，则G是ABC的（）A．内心B.外心C.重心D.垂心例2、已知O是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：(),[0,)ABACOPOAABAC，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．内心B.外心C.重心D.垂心例3、已知ABC的三边长分别为cba,,，O是平面内一点，若0OCcOBbOAa，则O是ABC的（）A．内心B.外心C.重心D.垂心例4、ABC的外接圆的圆心为O，两边边上的高的交点为H，若OH()mOAOBOC，则实数m.例5、已知点G是ABC的重心，()AGABACR，，那么_____；若120A，2ABAC，则AG的最小值是__________.例6、已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为1S，△ABC的面积为2S，APpPB，AQqQC，则12SS的取值范围是例7、已知ABC的外接圆是单位圆O，且0543OCOBOA，则ABOC________例8、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA→＋2AB→＋2AC→＝0，则CA→在CB→方向上的投影为()A．4B.15C.7D．1例9、已知△ABC的顶点0,1,0,1CB，设△ABC的重心与内心分别为IG,，且BCGI//，则顶点的轨迹方程为____例10、已知0120,1,2BACACAB，O为△ABC的内心，则ACAO的值为．例11、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA→＋2AB→＋2AC→＝0，则CA→在CB→方向上的投影为()A．4B.15C.7D．1例12、已知C的重心为，过任做一直线分别交边，C于，Q两点，设m，QCn，则49mn的最小值是．例13、已知O为ABC的外心，0120,2,2BACaACaAB,若ACyABxAO，则yx63的最小值为_____例14、在ABC中，5BC，OG,分别为ABC的重心和外心，且5BCGO，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D上述三种情况都有可能例15、在△ABC中，0BAACACACABAB，65,3,3AACAB，则ACAB的最大值为____例16、已知点G是△ABC的重心，A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|AG→|的最小值是()A.33B.22C.23D.34例17、在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A.2B.1C.83D.43例18、已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．例19、椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若△ABF2的内切圆的周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为()A.53B.103C.203D.53例20、抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0三角形的四心的应用：内容类型重心外心内心垂心几何定义三边中线交点三边中垂线交点三内角平分线交点三边高线交点几何性质重心到顶点与到对边中点距离之比为2：1到三顶点距离相等到三边距离相等垂心分每条高线的两部分乘积相等重心与三顶点组成三角形面积相等钝三角外心在三角形外直三角外心在斜边中点锐三角外心在三角形内双曲线焦点三角形的内切圆与x轴相应双曲线的相应顶点重心到三边距离与三边长成反比abcrS外4内rcbaS21重心到三顶点的距离的平方和最小3,3321321yyyxxx向量表示0GCGBGAOCOBOA且BCBCBABABIACACABABAIOAOBOBOC=OCOA0BCOCOBABOBOAPIcbaPCcPBbPAa例1、已知P是ABC所在平面内任意一点，且3PAPBPCPG，则G是ABC的（C）A．内心B.外心C.重心D.垂心例2、已知O是平面内的一个点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：(),[0,)ABACOPOAABAC，则点P的轨迹一定过ABC的（A）A．内心B.外心C.重心D.垂心例3、已知ABC的三边长分别为cba,,，O是平面内一点，若0OCcOBbOAa，则O是ABC的（A）A．内心B.外心C.重心D.垂心例4、ABC的外接圆的圆心为O，两边边上的高的交点为H，若OH()mOAOBOC，则实数m.1例5、已知点G是ABC的重心，()AGABACR，，那么_____；若120A，2ABAC，则AG的最小值是__________.3232例6、已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为1S，△ABC的面积为2S，APpPB，AQqQC，则12SS的取值范围是.21,94例7、已知ABC的外接圆是单位圆O，且0543OCOBOA，则ABOC________51分析：04325054322OBOAOBOAOCOCOBOA，OBOAOAOBOBOAABOC1514351例8、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA→＋2AB→＋2AC→＝0，则CA→在CB→方向上的投影为(C)A．4B.15C.7D．1分析：设BC中点为D，ADAO4，若△ABC的外接圆的圆心为O，则BCOA例9、已知△ABC的顶点0,1,0,1CB，设△ABC的重心与内心分别为IG,，且BCGI//，则顶点的轨迹方程为_________分析：rBCrACBCAB32121013422xyx例10、已知0120,1,2BACACAB，O为△ABC的内心，则ACAO的值为．例11、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，OA→＋2AB→＋2AC→＝0，则CA→在CB→方向上的投影为(C)A．4B.15C.7D．1分析：设BC中点为D，ADAO4，若△ABC的外接圆的圆心为O，则BCOA例12、已知C的重心为，过任做一直线分别交边，C于，Q两点，设m，QCn，则49mn的最小值是．253例13、已知O为ABC的外心，0120,2,2BACaACaAB,若ACyABxAO，则yx63的最小值为______226分析1：坐标法分析2：基底法OAOCyOAOBxOA，平方，判别式法例14、在ABC中，5BC，OG,分别为ABC的重心和外心，且5BCGO，则ABC的形状为(B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D上述三种情况都有可能分析1、坐标法分析2、基底法3056122cbACABACABBCGDBCDOGDBCGO（D为BC中点）abcb,，由于0230252cos222acacbcaB例15、在△ABC中，0BAACACACABAB，65,3,3AACAB，则ACAB的最大值为____23分析：,mACAB9cos2222Amm，AAACABcos22cos9例16、已知点G是△ABC的重心，A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|AG→|的最小值是(C)A.33B.22C.23D.34例17、在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(D)A.2B.1C.83D.43例18、已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．分析1、利用重心进行相关点代入法得(x＋13)2＋y2＝49(y≠0)．分析2、过P作BC的平分线，必得AB的三等分点0,31M，必有P在以AM为直径的圆上.例19、椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1点，若△ABF2的内切圆的周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(D)A.53B.103C.203D.53例20、抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为(C)A．x＋y＝0B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0(2010·湖北)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()．A．2B．3C．4D．5分析：∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB→＋AC→＝3AM→.∴m＝3.